WisFaq!

Re: Re: Re: Oppervlakte-integraal over halve bol met divergentie theorie

Ahh oke... ik heb de stof weer helemaal door gelezen en denk dat ik het nu begrijp.

${\int{}}{\int{}}$s F n ds = ${\int{}}{\int{}}{\int{}}$e div F ds
${\int{}}{\int{}}$s F n ds = ${\int{}}{\int{}}$d F(r(phi,theta)) (rphi X rtheta) dA

Parameteriseren:

R(phi, theta) = (sin(phi)cos(theta), sin(phi)sin(theta),cos(phi))
Rphi X Rtheta = (sin²(phi)cos(theta), sin²(phi)sin(theta),cos(phi)sin(phi))

Vervolgens in F invullen

F(phi,theta) = (sin(phi),-sin(phi)cos(theta),cos(theta)¡Ì(1-sin²(phi)cos²(theta)-sin²(phi)sin²(phi)))
optimaliseren:

F(phi,theta) = (sin(phi),-sin(phi)cos(theta),cos²(phi))

F(phi,theta)¡¤(Rphi X Rtheta) = cos³(phi)sin(phi)

Nu integreren:

0$\leq$phi$\leq$pi/2
0$\leq$theta$\leq$2p

Klopt dit?

ziet er een stuk makkelijker uit dan als ik de divergentie theorie toepaste..
nu kan ik voor 'u' cos(phi) nemen en 'du' -sin(phi)

Jess
3-11-2011

Antwoord

Hallo, Jess.

Ja, het klopt nu, afgezien van betrekkelijke kleinigheden.
Zo kan het ook:
De vector (x,y,z) van de oorsprong naar een punt op de bol heeft lengte 1 en staat loodrecht op de bol, dus is de gezochte normaalvector.
Het inproduct van vectorveld F met de oppervlaktenormaal n is dus:
F.n = xy - yx + z²√(1-x²-y²).
Voor de punten op het oppervlak is dit gelijk aan
√(1-x²-y²)³,
want z = √(1-x²-y²).
Het oppervlakte-element is
√(1+z_x²+z_y²) dx dy =
1/(√(1-x²-y²)) dx dy.
Dus de flux van F door de halve bol wordt
$\int {\int_C{}}$(1-x²-y²) dx dy , waarbij C de cirkelschijf in het x,y-vlak onder de halve bol is.
Met poolcoördinaten wordt dit
$\int {\int_C{}}$ (1-r²) r dr dj = p/2.

hr
3-11-2011