WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Afleiden van een functie waarbij z een functie is van x en y

Dit is een reactie op vraag 57657

Tom, fantastisch dat het mogelijk was om zo snel te reageren. Bedankt.

Ik ben met dit antwoord deels geholpen.
Ik snap nu waarom ik x moet afleiden + door het toepassen van de productregel heb ik inderdaad de juiste afleiding gevonden, namelijk: 3x² + 3z² + 6yz + 6xy.

Nu snap ik nog 2 dingen niet:
- waarom wordt achter de afgeleiden 3z² en 6xy het afleidingsteken ¶z/¶x geplaatst en bij 3x² en 6yz niet ?
- hoe kom ik nu tot de uiteindelijke oplossing - (x² + 2yz) / (z² + 2xy)

Opnieuw alvast bedankt voor de hulp.

Groet,
Marojo

Marojo
Student universiteit - maandag 29 december 2008

Antwoord

Beste Marojo,

We zijn bezig met een functie z(x,y) waarbij x en y onafhankelijk zijn en z als impliciete functie in x en y gegeven is. We weten dus dat z afhangt van x en y, maar we hebben geen expliciet voorschrift z = f(x,y).

Als je van yx² de afgeleide naar x wil bepalen, kan dat 'rechtstreeks'. Aangezien y niet afhangt van x kan die constante factor gewoon voor de afgeleide, de afgeleide van x² is 2x dus we krijgen 2xy.

Als je van z de afgeleide naar x wil bepalen, kan dat niet 'rechtstreeks' want we hebben het expliciete voorschrift z = f(x,y) niet. Het enige wat we kunnen schrijven is dat we die z inderdaad naar x afleiden: ¶z/¶x.

Als je van z² de afgeleide naar x wil bepalen, geldt het bovenstaande nog steeds. Alleen moet je nu ook nog de kettingregel toepassen: dus eerst z² afleiden alsof het naar z is, dat geeft 2z, en dan nog vermenigvuldigen met de afgeleide van z zelf. Maar dat is gewoon ¶z/¶x (zie hierboven), dus de afgeleide van z² naar x is 2z.¶z/¶x.

Terugkerend naar jouw opgave komt er dus overal een extra factor ¶z/¶x bij elke term die je verkrijgt wanneer je z naar x aan het afleiden was, door de kettingregel en door het feit dat je z als (impliciete) functie van x beschouwt.

Duidelijk zo?

mvg,
Tom

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 29 december 2008

Re: Re: Afleiden van een functie waarbij z een functie is van x en y