Re: Afleiden van een functie waarbij z een functie is van x en y
Tom, fantastisch dat het mogelijk was om zo snel te reageren. Bedankt.
Ik ben met dit antwoord deels geholpen. Ik snap nu waarom ik x moet afleiden + door het toepassen van de productregel heb ik inderdaad de juiste afleiding gevonden, namelijk: 3x2 + 3z2 + 6yz + 6xy.
Nu snap ik nog 2 dingen niet: - waarom wordt achter de afgeleiden 3z2 en 6xy het afleidingsteken ¶z/¶x geplaatst en bij 3x2 en 6yz niet ? - hoe kom ik nu tot de uiteindelijke oplossing - (x2 + 2yz) / (z2 + 2xy)
Opnieuw alvast bedankt voor de hulp.
Groet, Marojo
Marojo
Student universiteit - maandag 29 december 2008
Antwoord
Beste Marojo,
We zijn bezig met een functie z(x,y) waarbij x en y onafhankelijk zijn en z als impliciete functie in x en y gegeven is. We weten dus dat z afhangt van x en y, maar we hebben geen expliciet voorschrift z = f(x,y).
Als je van yx2 de afgeleide naar x wil bepalen, kan dat 'rechtstreeks'. Aangezien y niet afhangt van x kan die constante factor gewoon voor de afgeleide, de afgeleide van x2 is 2x dus we krijgen 2xy.
Als je van z de afgeleide naar x wil bepalen, kan dat niet 'rechtstreeks' want we hebben het expliciete voorschrift z = f(x,y) niet. Het enige wat we kunnen schrijven is dat we die z inderdaad naar x afleiden: ¶z/¶x.
Als je van z2 de afgeleide naar x wil bepalen, geldt het bovenstaande nog steeds. Alleen moet je nu ook nog de kettingregel toepassen: dus eerst z2 afleiden alsof het naar z is, dat geeft 2z, en dan nog vermenigvuldigen met de afgeleide van z zelf. Maar dat is gewoon ¶z/¶x (zie hierboven), dus de afgeleide van z2 naar x is 2z.¶z/¶x.
Terugkerend naar jouw opgave komt er dus overal een extra factor ¶z/¶x bij elke term die je verkrijgt wanneer je z naar x aan het afleiden was, door de kettingregel en door het feit dat je z als (impliciete) functie van x beschouwt.
Dit is een reactie op vraag 57657 
