WisFaq!

Re: Afleiden van een functie waarbij z een functie is van x en y

Tom, fantastisch dat het mogelijk was om zo snel te reageren. Bedankt.

Ik ben met dit antwoord deels geholpen.
Ik snap nu waarom ik x moet afleiden + door het toepassen van de productregel heb ik inderdaad de juiste afleiding gevonden, namelijk: 3x² + 3z² + 6yz + 6xy.

Nu snap ik nog 2 dingen niet:
- waarom wordt achter de afgeleiden 3z² en 6xy het afleidingsteken ¶z/¶x geplaatst en bij 3x² en 6yz niet ?
- hoe kom ik nu tot de uiteindelijke oplossing - (x² + 2yz) / (z² + 2xy)

Opnieuw alvast bedankt voor de hulp.

Groet,
Marojo

Marojo
29-12-2008

Antwoord

Beste Marojo,

We zijn bezig met een functie z(x,y) waarbij x en y onafhankelijk zijn en z als impliciete functie in x en y gegeven is. We weten dus dat z afhangt van x en y, maar we hebben geen expliciet voorschrift z = f(x,y).

Als je van yx² de afgeleide naar x wil bepalen, kan dat 'rechtstreeks'. Aangezien y niet afhangt van x kan die constante factor gewoon voor de afgeleide, de afgeleide van x² is 2x dus we krijgen 2xy.

Als je van z de afgeleide naar x wil bepalen, kan dat niet 'rechtstreeks' want we hebben het expliciete voorschrift z = f(x,y) niet. Het enige wat we kunnen schrijven is dat we die z inderdaad naar x afleiden: ¶z/¶x.

Als je van z² de afgeleide naar x wil bepalen, geldt het bovenstaande nog steeds. Alleen moet je nu ook nog de kettingregel toepassen: dus eerst z² afleiden alsof het naar z is, dat geeft 2z, en dan nog vermenigvuldigen met de afgeleide van z zelf. Maar dat is gewoon ¶z/¶x (zie hierboven), dus de afgeleide van z² naar x is 2z.¶z/¶x.

Terugkerend naar jouw opgave komt er dus overal een extra factor ¶z/¶x bij elke term die je verkrijgt wanneer je z naar x aan het afleiden was, door de kettingregel en door het feit dat je z als (impliciete) functie van x beschouwt.

Duidelijk zo?

mvg,
Tom

td
29-12-2008