WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Re: Bewijs uitbreiding stelling van Rolle

Dit is een reactie op vraag 53375

Ik heb geprobeerd de oefening te bewijzen met je uitleg.
Hier is mijn bewijs:
Bewijs(mbv volledig inductie)
1: Basisstap: de bewering klopt voor n=0.
Voor n=0 is dit namelijk de stelling van Rolle en dus is
f⁽⁰⁺¹(c) = 0
2: Inductiestap:stel de bewering is waar voor een zekere
mÎ
dÎ[a,b] met f^(m+1)(d)=0
(Inductiehypothese)

Gegeven is dat f^(k)(a)=0 voor allek=1,2,..,n
We kunnen nu de stelling van Rolle toepassen op de
functie f^(m+1) over het interval [a,d].
Volgens de stelling van Rolle geldt dan:
Er bestaat een cÎ[a,d] met f^(m+2)(c)=0.
Op grond van het principe van volledig inductie kunnen
we dus besluiten dat onder de gegeven voorwaarden uit
de opgave er een cÎ[a,b] bestaat met
f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)=0.

Dit is mijn bewijs. Is dit correct?
Ik vraag mij ook iets af:
in mijn bewijs schrijf ik "Gegeven is dat f^(k)(a)=0 voor allek=1,2,..,n. We kunnen nu de stelling van Rolle toepassen op de functie f^(m+1) over het interval [a,d]."
Mag dit? of moet f^(k+1)(a)=0 voor alle k=1,2,..,n gelden opdat je dit zou mogen zeggen?
Joeri
Student universiteit - donderdag 6 december 2007

Antwoord

Je inductieveronderstelling is dat voor elk interval [p,q] en elke n+1 vaak differentieerbare functie g op [p,q] met g^(k)(p)=0 voor k=0,1,2,...,n en g(q)=0 een c in (p,q) bestaat met g⁽ⁿ⁺¹⁾(c)=0.
Dan neem je een interval [a,b] en een functie f op [a,b] die n+2 vaak differentieerbaar is en die voldoet aan f^(k)(a)=0 voor k=0,1,2,...,n+1 en f(b)=0. Je vindt dan, via de inductieveronderstelling toegepast op [a,b] en f, een c in (a,b) met f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)=0. Dan pas je Rolle toe op [a,c] en f⁽ⁿ⁺¹⁾.
Je bewijs was correct op de regel na die je zelf al aanstipt; je oplossing is niet goed. Bij de inductie stap vervang je n door n+1, dus het gegeven wordt zoals ik het hierboven schreef: f^(k)(a)=0 voor k=0,1,2,...,n+1

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 12 december 2007