Ik heb geprobeerd de oefening te bewijzen met je uitleg. Hier is mijn bewijs: Bewijs(mbv volledig inductie) 1: Basisstap: de bewering klopt voor n=0. Voor n=0 is dit namelijk de stelling van Rolle en dus is f(0+1(c) = 0 2: Inductiestap:stel de bewering is waar voor een zekere mÎ dÎ[a,b] met f(m+1)(d)=0 (Inductiehypothese)
Gegeven is dat f(k)(a)=0 voor allek=1,2,..,n We kunnen nu de stelling van Rolle toepassen op de functie f(m+1) over het interval [a,d]. Volgens de stelling van Rolle geldt dan: Er bestaat een cÎ[a,d] met f(m+2)(c)=0. Op grond van het principe van volledig inductie kunnen we dus besluiten dat onder de gegeven voorwaarden uit de opgave er een cÎ[a,b] bestaat met f(n+1)(c)=0.
Dit is mijn bewijs. Is dit correct? Ik vraag mij ook iets af: in mijn bewijs schrijf ik "Gegeven is dat f(k)(a)=0 voor allek=1,2,..,n. We kunnen nu de stelling van Rolle toepassen op de functie f(m+1) over het interval [a,d]." Mag dit? of moet f(k+1)(a)=0 voor alle k=1,2,..,n gelden opdat je dit zou mogen zeggen?
Joeri
Student universiteit - donderdag 6 december 2007
Antwoord
Je inductieveronderstelling is dat voor elk interval [p,q] en elke n+1 vaak differentieerbare functie g op [p,q] met g(k)(p)=0 voor k=0,1,2,...,n en g(q)=0 een c in (p,q) bestaat met g(n+1)(c)=0. Dan neem je een interval [a,b] en een functie f op [a,b] die n+2 vaak differentieerbaar is en die voldoet aan f(k)(a)=0 voor k=0,1,2,...,n+1 en f(b)=0. Je vindt dan, via de inductieveronderstelling toegepast op [a,b] en f, een c in (a,b) met f(n+1)(c)=0. Dan pas je Rolle toe op [a,c] en f(n+1). Je bewijs was correct op de regel na die je zelf al aanstipt; je oplossing is niet goed. Bij de inductie stap vervang je n door n+1, dus het gegeven wordt zoals ik het hierboven schreef: f(k)(a)=0 voor k=0,1,2,...,n+1
Dit is een reactie op vraag 53375 
