WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Bewijzen irrationaal van een grote wortel

Hai,
Als je wilt bewijzen dat bv Ö243 irrationaal is.
Dan loop ik vast.

Ö243 = p/q Waarbij deze breuk niet verder te vereenvoudigen is

243 = P²/q²
3⁵=P²/q²
3⁵* q²=p²
Hieruit volgt dat p² een veelvoud is van 3. En dus is p een veelvoud van 3.
P kunnen we dan schrijven als 3x a (waarbij a is 1/3 p)
3⁵* q²=9a²
27 * q² = a²
Hier loop ik vast, want hieruit kun je niet stellen dat q ook een veelvoud van 3 is, toch?

MVG Nick
Nick J
Student universiteit - dinsdag 1 november 2005

Antwoord

als 3⁵q²=p²

dan is p² deelbaar door 3 en dus is p deelbaar door 3, maar dan is p²deelbaar door 3²
= er bestaat een p' zodat p=3p'
= 3⁵q²=3²p'²
= 3³q²=p'²

Op de zelfde manier is p' deelbaar door 3² en dus is er een p"zodat p'=3²p"

=

3³q²=3²p"²
=

3q²=p"²

= p"² is deelbaar door 3, en dus ook p" is deelbaar door 3
dus er bestaat een t zodat p"=3t

=

3q²=3²t²
=

q²=3t²

= q² is deelbaar door 3 en dus ook q.

Dus we hebben, gesteld dan p en q ondeelbaar waren, bewezen dat p en q beide deelbaar zijn door 3, strijdig.

QED

Het is wat lang, en het is steeds hetzelfde, maar het is belangrijk dat je de argumentatie goed begrijpt.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 1 november 2005