Bewijzen irrationaal van een grote wortel

Hai,
Als je wilt bewijzen dat bv Ö243 irrationaal is.
Dan loop ik vast.

Ö243 = p/q Waarbij deze breuk niet verder te vereenvoudigen is

243 = P²/q²
3⁵=P²/q²
3⁵* q²=p²
Hieruit volgt dat p² een veelvoud is van 3. En dus is p een veelvoud van 3.
P kunnen we dan schrijven als 3x a (waarbij a is 1/3 p)
3⁵* q²=9a²
27 * q² = a²
Hier loop ik vast, want hieruit kun je niet stellen dat q ook een veelvoud van 3 is, toch?

MVG Nick

Nick J
Student universiteit - dinsdag 1 november 2005

Antwoord

als 3⁵q²=p²

dan is p² deelbaar door 3 en dus is p deelbaar door 3, maar dan is p²deelbaar door 3²
= er bestaat een p' zodat p=3p'
= 3⁵q²=3²p'²
= 3³q²=p'²

Op de zelfde manier is p' deelbaar door 3² en dus is er een p"zodat p'=3²p"

=

3³q²=3²p"²
=

3q²=p"²

= p"² is deelbaar door 3, en dus ook p" is deelbaar door 3
dus er bestaat een t zodat p"=3t

=

3q²=3²t²
=

q²=3t²

= q² is deelbaar door 3 en dus ook q.


Dus we hebben, gesteld dan p en q ondeelbaar waren, bewezen dat p en q beide deelbaar zijn door 3, strijdig.

QED


Het is wat lang, en het is steeds hetzelfde, maar het is belangrijk dat je de argumentatie goed begrijpt.

dinsdag 1 november 2005

©2001-2024 WisFaq