WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Snijpunten van 3 bollen

We zitten met een probleem wat we niet zelf opgelost krijgen.
Voor een project zijn we bezig met positiebepaling, hierbij gaan we uit van 3 bollen waarbij

deze 2 gezamenlijke snijpunten hebben.

De bollen hebben een bekend middelpunt (x,y,z) en een bekende straal (r).
Hierbij komen we tot de volgende 3 bolvergelijkingen:
F1: (X-21)² + (Y-11)² + (Z-7)² = 49
F2: (X-26)² + (Y-15)² + (Z-3)² = 174
F3: (X-9)² + (Y-21)² + (Z-1.5)² = 217.25

We weten dat hier als een van de twee antwoorden (15,8,5) uitkomt. We kunnen het alleen niet

zelf berekenen.
Naar aanleiding van andere vragen hier op de site zijn we als volgt begonnen;

F1 - F2: 174 = 10X + 8Y - 8Z
F1 - F3: -255 = -24X + 20Y - 11Z
F2 - F3: -429 = -34X + 12Y - 3Z

Deze 3 vergelijkingen hebben we eerst proberen op te lossen d.m.v. substitutie, waar we niet

uit kwamen doordat geen van de variabelen weggewerkt kon worden.

Daarna hebben we het geprobeerd door 2 van de bovenstaande 3 vlakken gelijk te stellen.

Hierbij krijgen we uiteindelijk een negatieve wortel om mee te werken.

De snijlijn van deze twee vlakken krijgen we na het vinden van 2 punten op deze lijn,

namelijk: (0, -54 11/12, 76 2/3) en (13 14/151, 0, 5 58/151).
Hieruit hebben we de volgende vectorvoorstelling: (0, -54 11/12, 76 2/3) + l·(13

14/151, 54 11/12, -71 128/453).

Deze vectorvoorstelling vullen we in, in 1 van de bolvergelijkingen, waarbij een

vergelijking overblijft met slechts 1 variabele, namelijk de lambda.
De vergelijking is in de vorm:
a·l² + b·l + c = 0

ABC-formule invullen levert dan echter een negatief deel onder de wortel.

We weten wat het antwoord moet zijn, doordat Maple ons dit antwoord kan geven, en we dit

zien in ons eigen programma (visueel). Het antwoord dat we zoeken (15,8,5) ligt volgens ons

ook op de gevonden lijn.

Wat doen wij eventueel fout? We vragen ons tevens af of Maple het antwoord echt berekend of

het "slechts" benaderd op een slimme manier (Newton?).

Bedankt voor uw tijd en moeite.

Met vriendelijke groet,
Daniel² (Daniel en Daniel)
Daniel
Student hbo - dinsdag 24 mei 2005

Antwoord

Beste Daniel²,

Ik neem aan dat jullie de methode hebben gevolgd van Snijpunt(en) van 3 bollen.

Volgens mij moet dat toch wel lukken zo...

F1-F2 kan je nog delen door 2: 5x + 4y - 4z = 87
F1-F3 vermenigvuldig ik nog met -1: 24x - 20y + 11z = 255

Het probleem is nu dat je ook nog een 3e vergelijking creëert door F2-F3 te doen, maar dat heeft geen zin. Deze vergelijkingen gaan immers lineair afhankelijk zijn en je zal dus inderdaad geen oplossingen vinden.
Je moet het stelsel met bovenstaande 2 vergelijkingen oplossen, bvb naar x en y. Z wordt dan de parameter en je vindt een snijlijn.

Vul dan de gevonden waarde van x en y (in functie van z) uit de snijlijn in de 1e bol en los op naar z. Dit zal een kwadratische vergelijking zijn met 2 oplossingen (waarvan een z = 5) en via de snijlijn vind je dan de bijbehorende x- en y-coördinaat.

Maple had het juist trouwens en het zijn exacte oplossingen hoor

mvg,
Tom

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 24 mei 2005