WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Centrum van een groep

Hallo wisfaq,

Ik wil laten zien dat het centrum Z(S_n) van de permutatiegroep S_n triviaal is voor n ongelijk aan 2 en bepalen wat Z(S_2) is, maar ik begrijp niet hoe ik dat moet doen.

Groeten,
Viky
viky
Student hbo - donderdag 10 maart 2005

Antwoord

Hi Viky,

Je zou dat als volgt kunnen doen, eerst voor n2:
Stel dat je een niettriviaal centrum hebt, dus een element dat met alle andere commuteert maar niet de identiteit is.
- Schrijf dat element als (a b c ...) dus met minstens drie letters tussen de haakjes. Bereken eens (a b)(a b c ...) en ook eens (a b c ...)(a b) en merk dat die twee verschillen.
- Of, mocht dat element van de vorm (a b) zijn, bereken dan eens (a b)(a c) en eens (a c)(a b), die twee verschillen weer. (Hier kies je een c verschillend van a en b, maar dat kan vermits n2)

Voor n=1 bestaat S_n enkel uit de identiteit, dus het centrum ook.

Voor n=2 kan je eenvoudig nagaan dat alles commuteert, echt veel controleren moet je daar niet doen want die groep bestaat maar uit twee elementen...

Groeten,
Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 11 maart 2005