Ik wil laten zien dat het centrum Z(S_n) van de permutatiegroep S_n triviaal is voor n ongelijk aan 2 en bepalen wat Z(S_2) is, maar ik begrijp niet hoe ik dat moet doen.
Groeten, Viky
viky
Student hbo - donderdag 10 maart 2005
Antwoord
Hi Viky,
Je zou dat als volgt kunnen doen, eerst voor n2: Stel dat je een niettriviaal centrum hebt, dus een element dat met alle andere commuteert maar niet de identiteit is. - Schrijf dat element als (a b c ...) dus met minstens drie letters tussen de haakjes. Bereken eens (a b)(a b c ...) en ook eens (a b c ...)(a b) en merk dat die twee verschillen. - Of, mocht dat element van de vorm (a b) zijn, bereken dan eens (a b)(a c) en eens (a c)(a b), die twee verschillen weer. (Hier kies je een c verschillend van a en b, maar dat kan vermits n2)
Voor n=1 bestaat Sn enkel uit de identiteit, dus het centrum ook.
Voor n=2 kan je eenvoudig nagaan dat alles commuteert, echt veel controleren moet je daar niet doen want die groep bestaat maar uit twee elementen...
2: 