WisFaq!

Centrum van een groep

Hallo wisfaq,

Ik wil laten zien dat het centrum Z(S_n) van de permutatiegroep S_n triviaal is voor n ongelijk aan 2 en bepalen wat Z(S_2) is, maar ik begrijp niet hoe ik dat moet doen.

Groeten,
Viky

viky
10-3-2005

Antwoord

Hi Viky,

Je zou dat als volgt kunnen doen, eerst voor n2:
Stel dat je een niettriviaal centrum hebt, dus een element dat met alle andere commuteert maar niet de identiteit is.
- Schrijf dat element als (a b c ...) dus met minstens drie letters tussen de haakjes. Bereken eens (a b)(a b c ...) en ook eens (a b c ...)(a b) en merk dat die twee verschillen.
- Of, mocht dat element van de vorm (a b) zijn, bereken dan eens (a b)(a c) en eens (a c)(a b), die twee verschillen weer. (Hier kies je een c verschillend van a en b, maar dat kan vermits n2)

Voor n=1 bestaat S_n enkel uit de identiteit, dus het centrum ook.

Voor n=2 kan je eenvoudig nagaan dat alles commuteert, echt veel controleren moet je daar niet doen want die groep bestaat maar uit twee elementen...

Groeten,
Christophe.

Christophe
11-3-2005