WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Ontbinden mbv horner

Dit is een reactie op vraag 25733

Ik heb dus x² – 5x + 8 / x⁴ -6x +8x -3 ik heb de noemer nu ontbonden om deze breuk in elementaire breuken te kunnen schrijven om dan kunnen gebruik te maken van de integratie methode door breuksplitsing. De noemer wordt dus (x+3) (x-1) (x-1) (x-1) = (x+3)(x-1)³
Dan x² – 5x + 8 / (x+3)(x-1) (x-1) (x-1) en dat wordt dan volgens mij gelijk aan
A/(x-1) + b/(x-1) + c/(x-1) + d/(x+3) en ik zou ook nog zeggen dat a=b=c

Maar nu in mijn boek schrijft men het volgende waarom?

a/(x-1) + b/(x-1)² + c/(x-1)³ + b/(x+3)

Waarom niet zoals ik denk? Groeten.

Bert
Overige TSO-BSO - vrijdag 25 juni 2004

Antwoord

De wortels van de noemer (f(x)=0) zijn reëel en meervoudig, dus dan geldt in het algemeen
^f(x)/_f(x) = ^{^A₁}/_{_{(x - x₁)^a}} + ^{^A₂}/_{_{(x - x₁)^a-1}}+ ... + ^{^A_a}/_{_{(x - x₁)¹}} + ^{^B₁}/_{_{(x - x₂)^b}} + ^{^B₂}/_{_{(x - x₂)^b-1}} + ... + ^{^B_b}/_{_{(x - x₂)¹}} + ...

In ons geval ^x²-5x+8/_{x⁴-6x²+8x-3} = ^x²-5x+8/_{(x-1)³·(x+3)}. De nulpunten van de noemer zijn meervoudig en reël, dus kan de functie ontbonden worden in ^{^A₁}/_{_(x-1)³} + ^{^A₂}/_{_(x-1)²} + ^{^A₃}/_{_(x-1)} + ^{^B₁}/_{_(x+3)}, als we A₁ = A en A₂=B, A₃=C en B₁=D, dan moet gelden A(x+3) + B(x-1)(x+3) + C(x-1)²·(x+3) + D(x-1)³ = x² - 5x + 8.

En dan moet je een stelsel oplossen, maar dat zal wel lukken (A=1, B=-1, C=½ en D=-½).

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 25 juni 2004