WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Ontbinden met het schema van Horner

Hallo,

Stel ik wil x⁴ – 6x² + 8x – 3 ontbinden dan doe ik dat best met het horner schema of niet?
Ik woon in België dus zo hebben ze het mij ooit geleerd (want ik las dat men het in Nederland alleen aanleerde mbv een euciclidische deling). Nu zou ik graag weten hoe dat ik dat weer moet doen want ik ben dat rats vergeten. Kunnen jullie mij eventueel deze maken als voorbeeld?
Deze staat als voorbeeld in mijn boek ik bedoel hiermee dat de uitkomsten te vinden zijn in mijn boek (niet ontbonden mbv horner). Om nadien de integratie methode ‘integreren van gebroken functie door middel van breuk afsplitsing toe te passen.
Daarom ken ik de uikomsten al en 1 schijnt dan een 3-voudig nulpunt te zijn wat bedoel men hiermee?

Dank bij voorbaat.
Bert
Overige TSO-BSO - dinsdag 22 juni 2004

Antwoord

Eerst schrijf je alle delers van de constante term op, in dit geval alle delers van -3, da's gemakkelijk: dat is ±1 en ±3. Nu vul je alle mogelijkheden in, en daar waar functiewaarde 0 uitkomt heb je een nulpunt te pakken.

Stel f(x)=x⁴ - 6x² + 8x - 3, dan probeer je f(-1) = -16, f(1)=0, f(-3)=0 en f(3)=48. Er zijn twee nulpunten in dit geval. Kies één nulpunt uit, bijvoorbeeld x = 1. Dus (x-nulpunt) is al één factor van de ontbinding, dus (x-1) keer nog iets wordt de ontbinding.

Je schrijft nu de coëfficiënten van de gerangschikte termen van de functie (de graad van groot naar klein gerangschikt) op, en indien een graad ontbreekt schrijf je coëfficiënt 0.
Linksonder het schema schrijf je het nulpunt (bij ons dus 1).

Je krijgt het volgende schema

Bovenaan zie je 1·x⁴ + 0·x³ + -6x² + 8x -3.
Linksonder het nulpunt 1. Je haalt het getal dat linksboven staat naar beneden (zet het onder de streep) en vermenigvuldigt het met het nulpunt. Het resultaat zet je onder de tweede coëfficiënt (dus in het rechthoekje van onder). Je telt de twee getallen in het rechthoekje op en schrijft het resultaat onder de streep. Nu doe je precies hetzelfde: vermengivuldigen met het nulpunt, het resultaat onder de volgende coëfficiënt zetten, optellen, enz...

Als je klaar bent zie je onder de streep
1 1 -5 3 || 0
staan, wat achter de || staat is de rest (hier 0 dus is er geen rest). Van rechts naar links staan hier de coëfficiënten van de constante term (3), de eerstegraadsterm (-5), de tweedegraadsterm (1) en de derdegraadsterm (1). Dus x³+x²-5x+3, gecombineerd met de factor die we al hadden, is dit (x-1)·(x³+x²-5x+3) en dit is gelijk aan f(x). Misschien kunnen we hetzelfde trucje met x³+x²-5x+3 uithalen? En dat resultaat kan misschien ook weer ontbonden worden? Probeer dat maar zelf, als je er niet uitkomt dan hoor ik 't wel.

De ontbonden vorm zou trouwens f(x)=(x+3)(x-1)³ moeten zijn.

Je vroeg ook wat een 3-voudig nulpunt is, wel... de hoofdstelling van de algebra zegt dat een n-de graadspolynoom altijd n nulpunten heeft. Het kan echter zo zijn dat nulpunten meerdere keren voorkomen, om je een ander gemakkelijk voorbeeld te geven: zo heeft de dalparabool f(x)=x² maar één nulpunt namelijk x=0 (maak maar eens een vlot schetsje) en toch zouden er 2 nulpunten moeten zijn volgens de hoofdstelling. Je zou kunnen zeggen f(x)=x² dus f(x)=x·x. f(x)=0 Û x=0 of x=0, maar dat is gewoon x=0 (2 keer). Dus een 2-voudig nulpunt (of multipliciteit 2).

Groetjes,

Davy.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 22 juni 2004

Re: Ontbinden mbv horner