WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Bewijzen bij matrices

Dag iedereen,

ik heb morgen examen wiskunde en heb nog enkele vraagjes voor jullie. Kunnen jullie me gewoon even vlug op weg helpen ?

- Als A*B=A en B*A=B dan zijn A en B idempotent- bewijs
- Bewijs (A+B)^T= A^T+B^T
(r*A)^T=r*A^T
(A*B)^T=B^T*A^T
- Als A een vierkante matrix is, dan zijn A*A^T en A^T*A symmetrisch. Bewijs

Dankjewel!!
a.
3de graad ASO - woensdag 3 december 2003

Antwoord

Je weet, neem ik aan, dat 'A is idempotent' betekent: A*A = A
Verder zal bekend zijn dat bij matrixvermenigvuldiging geldt:
(A*B)*C = A*(B*C) (associatieve eigenschap)

Er geldt nu:
A*A = (A*B)*A (immers: A = A*B)
= A*(B*A) = A*B = A, dus A is idempotent.
Voor B mag je het zelf doen.

Voor het transponeren geldt het volgende, het element op rij r, kolom k in de oorspronkelijke matrix, staat in de getransponeerde matrix op rij k, kolom r.

In formule: A_r,k = A^T_k,r
Hiermee moet je de eerste twee regels van het tweede streepje kunnen bewijzen.
De derde is wat ingewikkelder.
Het element op rij r, kolom k in de matrix A*B is gelijk aan:

Hierbij is n het aantal kolommen van A (en dus het aantal rijen van B)
Kun je nu aantonen dat dit gelijk is aan het element op rij k, kolom r in de matrix B^T*A^T?

Dan de laatste vraag. Ook hier kun je weer gebruik maken van de formule voor het element op rij r, kolom k van de vermenigvuldigingsmatrix. Je moet dan aantonen dat dat element gelijk is aan het element op rij k, kolom r. Dan is het resultaat symmetrisch.

Graag gedaan, succes morgen.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 3 december 2003