ik heb morgen examen wiskunde en heb nog enkele vraagjes voor jullie. Kunnen jullie me gewoon even vlug op weg helpen ?
- Als A*B=A en B*A=B dan zijn A en B idempotent- bewijs - Bewijs (A+B)^T= A^T+B^T (r*A)^T=r*A^T (A*B)^T=B^T*A^T - Als A een vierkante matrix is, dan zijn A*A^T en A^T*A symmetrisch. Bewijs
Dankjewel!!
a.
3de graad ASO - woensdag 3 december 2003
Antwoord
Je weet, neem ik aan, dat 'A is idempotent' betekent: A*A = A Verder zal bekend zijn dat bij matrixvermenigvuldiging geldt: (A*B)*C = A*(B*C) (associatieve eigenschap)
Er geldt nu: A*A = (A*B)*A (immers: A = A*B) = A*(B*A) = A*B = A, dus A is idempotent. Voor B mag je het zelf doen.
Voor het transponeren geldt het volgende, het element op rij r, kolom k in de oorspronkelijke matrix, staat in de getransponeerde matrix op rij k, kolom r.
In formule: Ar,k = ATk,r Hiermee moet je de eerste twee regels van het tweede streepje kunnen bewijzen. De derde is wat ingewikkelder. Het element op rij r, kolom k in de matrix A*B is gelijk aan: Hierbij is n het aantal kolommen van A (en dus het aantal rijen van B) Kun je nu aantonen dat dit gelijk is aan het element op rij k, kolom r in de matrix BT*AT?
Dan de laatste vraag. Ook hier kun je weer gebruik maken van de formule voor het element op rij r, kolom k van de vermenigvuldigingsmatrix. Je moet dan aantonen dat dat element gelijk is aan het element op rij k, kolom r. Dan is het resultaat symmetrisch.
