WisFaq!

Bewijzen bij matrices

Dag iedereen,

ik heb morgen examen wiskunde en heb nog enkele vraagjes voor jullie. Kunnen jullie me gewoon even vlug op weg helpen ?

- Als A*B=A en B*A=B dan zijn A en B idempotent- bewijs
- Bewijs (A+B)^T= A^T+B^T
(r*A)^T=r*A^T
(A*B)^T=B^T*A^T
- Als A een vierkante matrix is, dan zijn A*A^T en A^T*A symmetrisch. Bewijs

Dankjewel!!

a.
3-12-2003

Antwoord

Je weet, neem ik aan, dat 'A is idempotent' betekent: A*A = A
Verder zal bekend zijn dat bij matrixvermenigvuldiging geldt:
(A*B)*C = A*(B*C) (associatieve eigenschap)

Er geldt nu:
A*A = (A*B)*A (immers: A = A*B)
= A*(B*A) = A*B = A, dus A is idempotent.
Voor B mag je het zelf doen.

Voor het transponeren geldt het volgende, het element op rij r, kolom k in de oorspronkelijke matrix, staat in de getransponeerde matrix op rij k, kolom r.

In formule: A_r,k = A^T_k,r
Hiermee moet je de eerste twee regels van het tweede streepje kunnen bewijzen.
De derde is wat ingewikkelder.
Het element op rij r, kolom k in de matrix A*B is gelijk aan:

Hierbij is n het aantal kolommen van A (en dus het aantal rijen van B)
Kun je nu aantonen dat dit gelijk is aan het element op rij k, kolom r in de matrix B^T*A^T?

Dan de laatste vraag. Ook hier kun je weer gebruik maken van de formule voor het element op rij r, kolom k van de vermenigvuldigingsmatrix. Je moet dan aantonen dat dat element gelijk is aan het element op rij k, kolom r. Dan is het resultaat symmetrisch.

Graag gedaan, succes morgen.

Anneke
3-12-2003