WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Bewijs lineaire deelruimte

Dit is een reactie op vraag 16350

Haai It's me again!

Ik heb een definitie gevonden:

Zij V een vectorruimte. Een deelverzameling W van V heet een lineaire deelruimte van V als geldt
1) 0ÎW
2) W is gesloten onder de optelling van V
3) W is gesloten onder de scalairvermenigvuldiging op V

Maar nu moet ik drie deelverzamelingen W van ² geven:
1 die aan axioma 1 en 2 voldoet, maar niet aan axioma 3.
1 die aan axioma 1 en 3 voldoet, maar niet aan axioma 2.
1 die aan axioma 2 en 3 voldoet, maar niet aan axioma 1.

Hoe doe ik dat dan?
Nog een keer heel veel liefs van mij
Angela
Student universiteit - dinsdag 18 november 2003

Antwoord

Hoi,

Je hebt het over Bewijs lineaire deelruimte.

De definitie van een lineaire deelruimte kan je makkelijk afchecken:
1. Ga na dat p(t)=0 het 0-element is van V. Neem a=b=0, dan zie je dat p(t)=0 inderdaad ook in W zit.
2. heb ik bewezen in mijn eerste antwoord
3. gelijkt wel heel veel op de manier waarop ik 2 deed

Alternatief kon je ook makkelijk een bijectie tussen ² en W opstellen en zo bewijzen dat die twee ruimten dezelfde structuur hebben.

Bijkomend moet je deelverzamelingen geven van ² zodat telkens aan precies één van de definiërende eigenschappen van een deelruimte niet voldaan is. Het werd bijna een beetje verwarrend omdat je hier ook W gebruikte (alhoewel hun structuur dus identiek is).

Een voorbeeldje waarbij niet aan voorwaarde drie voldaan is, maar wel aan de andere twee, is ^+,2 (enkel koppels met a,b0). Ga maar na.

Collega-beantwoorder Els vond een voorbeeld waar wel aan voorwaarden 1 en 3, maar niet aan 2 voldaan is: alle koppels die op 2 snijdende rechten door de oorsprong liggen. Een concreet voorbeeldje: W={(a,0)|a reëel}U{(0,b)|b reëel}.

Als aan 3 voldaan is, dan impliceert dit dat ook 0.a=0 binnen W zit en dit betekent dat er dan automatisch aan 1 voldaan is. Er bestaan dus geen voorbeelden van situaties waar er aan 2 en 3, maar niet aan 1 voldaan is, tenzij misschien de lege verzameling als dat zinvol is...

Groetjes,
Johan

Met dank aan Anneke en Els voor hun input!

andros

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 18 november 2003