WisFaq!

Re: Bewijs lineaire deelruimte

Haai It's me again!

Ik heb een definitie gevonden:

Zij V een vectorruimte. Een deelverzameling W van V heet een lineaire deelruimte van V als geldt
1) 0ÎW
2) W is gesloten onder de optelling van V
3) W is gesloten onder de scalairvermenigvuldiging op V

Maar nu moet ik drie deelverzamelingen W van ² geven:
1 die aan axioma 1 en 2 voldoet, maar niet aan axioma 3.
1 die aan axioma 1 en 3 voldoet, maar niet aan axioma 2.
1 die aan axioma 2 en 3 voldoet, maar niet aan axioma 1.

Hoe doe ik dat dan?
Nog een keer heel veel liefs van mij

Angela
18-11-2003

Antwoord

Hoi,

Je hebt het over Bewijs lineaire deelruimte.

De definitie van een lineaire deelruimte kan je makkelijk afchecken:
1. Ga na dat p(t)=0 het 0-element is van V. Neem a=b=0, dan zie je dat p(t)=0 inderdaad ook in W zit.
2. heb ik bewezen in mijn eerste antwoord
3. gelijkt wel heel veel op de manier waarop ik 2 deed

Alternatief kon je ook makkelijk een bijectie tussen ² en W opstellen en zo bewijzen dat die twee ruimten dezelfde structuur hebben.

Bijkomend moet je deelverzamelingen geven van ² zodat telkens aan precies één van de definiërende eigenschappen van een deelruimte niet voldaan is. Het werd bijna een beetje verwarrend omdat je hier ook W gebruikte (alhoewel hun structuur dus identiek is).

Een voorbeeldje waarbij niet aan voorwaarde drie voldaan is, maar wel aan de andere twee, is ^+,2 (enkel koppels met a,b0). Ga maar na.

Collega-beantwoorder Els vond een voorbeeld waar wel aan voorwaarden 1 en 3, maar niet aan 2 voldaan is: alle koppels die op 2 snijdende rechten door de oorsprong liggen. Een concreet voorbeeldje: W={(a,0)|a reëel}U{(0,b)|b reëel}.

Als aan 3 voldaan is, dan impliceert dit dat ook 0.a=0 binnen W zit en dit betekent dat er dan automatisch aan 1 voldaan is. Er bestaan dus geen voorbeelden van situaties waar er aan 2 en 3, maar niet aan 1 voldaan is, tenzij misschien de lege verzameling als dat zinvol is...

Groetjes,
Johan

Met dank aan Anneke en Els voor hun input!

andros
18-11-2003