WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Oplossen van tg x + tg 2x + tg 3x = 0

hoe los je op:
tg x + tg 2x + tg 3x = 0
dank bij voorbaat
bea
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 27 juli 2003

Antwoord

Hallo Bea,

Dit steunt op de somformule voor de tangens:
tg(a+b)=^(tga+tgb)/_(1-tgatgb)

Als je dit toepast op je opgave kom je een uitdrukking uit in tgx. Voor tg(2x) moet je de formule één keer gebruiken, je stelt a=b=x. Voor tg(3x) moet je de formule eerst gebruiken met a=x, b=2x en daarna nog eens de tg(2x) wegwerken met a=x, b=x. Dit wordt dan wel een vrij stevige breuk. Je zet het hele gedoe op één noemer, en ik kwam daarbij uit op: (ik noem tgx = t):

(4t⁵ - 14t³ + 6t)/[(1-t²)(1-3t²)] = 0.
Dus de teller moet nul zijn. Je kan meteen t afzonderen (dus t=0 is een oplossing maar die kon je op het zicht ook al vinden).
Blijft over: 2t⁴ - 7t² + 3 = 0
Dit is een bikwadratische vergelijking: zie t² als onbekende en er staat een kwadratische vergelijking, met nog een mooie discriminant ook, namelijk 25. De oplossingen hiervan zijn: t² = 3 of t² = 1/2. Dit zijn geen nulpunten van de noemer, dus deze waarden maken de hele uitdrukking nul.
Dus: t=0, √3, -√3, 1/√2, -1/√2.
Als je van al deze waarden nog eens de Boogtangens neemt en overal nog k$\pi$ bijtelt (want dat beïnvloedt de tangens niet) dan heb je alle oplossingen.

Je kan nog controleren dat inderdaad 60° en 120° oplossingen zijn (komende van ±√3), want ze zijn elkaars tegengestelde, dus ook de tangens is tegengesteld en de tangens van het drievoud is nul.

Groeten,
Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 28 juli 2003