hoe los je op: tg x + tg 2x + tg 3x = 0 dank bij voorbaat
bea
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 27 juli 2003
Antwoord
Hallo Bea,
Dit steunt op de somformule voor de tangens: tg(a+b)=(tga+tgb)/(1-tgatgb)
Als je dit toepast op je opgave kom je een uitdrukking uit in tgx. Voor tg(2x) moet je de formule één keer gebruiken, je stelt a=b=x. Voor tg(3x) moet je de formule eerst gebruiken met a=x, b=2x en daarna nog eens de tg(2x) wegwerken met a=x, b=x. Dit wordt dan wel een vrij stevige breuk. Je zet het hele gedoe op één noemer, en ik kwam daarbij uit op: (ik noem tgx = t):
(4t5 - 14t3 + 6t)/[(1-t2)(1-3t2)] = 0. Dus de teller moet nul zijn. Je kan meteen t afzonderen (dus t=0 is een oplossing maar die kon je op het zicht ook al vinden). Blijft over: 2t4 - 7t2 + 3 = 0 Dit is een bikwadratische vergelijking: zie t2 als onbekende en er staat een kwadratische vergelijking, met nog een mooie discriminant ook, namelijk 25. De oplossingen hiervan zijn: t2 = 3 of t2 = 1/2. Dit zijn geen nulpunten van de noemer, dus deze waarden maken de hele uitdrukking nul. Dus: t=0, √3, -√3, 1/√2, -1/√2. Als je van al deze waarden nog eens de Boogtangens neemt en overal nog k$\pi$ bijtelt (want dat beïnvloedt de tangens niet) dan heb je alle oplossingen.
Je kan nog controleren dat inderdaad 60° en 120° oplossingen zijn (komende van ±√3), want ze zijn elkaars tegengestelde, dus ook de tangens is tegengesteld en de tangens van het drievoud is nul.
