Oplossen van tg x + tg 2x + tg 3x = 0

hoe los je op:
tg x + tg 2x + tg 3x = 0
dank bij voorbaat

bea
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 27 juli 2003

Antwoord

Hallo Bea,

Dit steunt op de somformule voor de tangens:
tg(a+b)=^(tga+tgb)/_(1-tgatgb)

Als je dit toepast op je opgave kom je een uitdrukking uit in tgx. Voor tg(2x) moet je de formule één keer gebruiken, je stelt a=b=x. Voor tg(3x) moet je de formule eerst gebruiken met a=x, b=2x en daarna nog eens de tg(2x) wegwerken met a=x, b=x. Dit wordt dan wel een vrij stevige breuk. Je zet het hele gedoe op één noemer, en ik kwam daarbij uit op: (ik noem tgx = t):

(4t⁵ - 14t³ + 6t)/[(1-t²)(1-3t²)] = 0.
Dus de teller moet nul zijn. Je kan meteen t afzonderen (dus t=0 is een oplossing maar die kon je op het zicht ook al vinden).
Blijft over: 2t⁴ - 7t² + 3 = 0
Dit is een bikwadratische vergelijking: zie t² als onbekende en er staat een kwadratische vergelijking, met nog een mooie discriminant ook, namelijk 25. De oplossingen hiervan zijn: t² = 3 of t² = 1/2. Dit zijn geen nulpunten van de noemer, dus deze waarden maken de hele uitdrukking nul.
Dus: t=0, √3, -√3, 1/√2, -1/√2.
Als je van al deze waarden nog eens de Boogtangens neemt en overal nog k$\pi$ bijtelt (want dat beïnvloedt de tangens niet) dan heb je alle oplossingen.

Je kan nog controleren dat inderdaad 60° en 120° oplossingen zijn (komende van ±√3), want ze zijn elkaars tegengestelde, dus ook de tangens is tegengesteld en de tangens van het drievoud is nul.

Groeten,
Christophe.

Christophe
maandag 28 juli 2003

©2001-2024 WisFaq