WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Combinaties met dobbelstenen

Dit is een reactie op vraag 10084

Hoe bereken je deze formule eigenlijk? Als ik dit zelf probeer met lage getallen voor r klopt het inderdaad, en ik neem aan voor grotere r ook :), maar ik snap niet waarom?

Fabian
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 20 april 2003

Antwoord

Het probleem waar je mee zit valt onder de zogeheten 'occupancy-problems', misschien te vertalen met 'bezettingsproblemen'.
Het gaat hier over het aantal verdelingen van r (niet te onderscheiden) voorwerpen over n verschillende vakjes.
Eerst maar een concreet voorbeeld.
Stel dat je 8 voorwerpen wilt verdelen over 5 vakjes, ofwel r = 8 en n = 5.
Een bepaalde verdeling kan nu worden voorgesteld met behulp van sterretjes en streepjes. Zo kun je bijvoorbeeld hebben: |*|**||**|***|
Je ziet dat het eerste vakje 1 ster bevat, vakje 2 bevat er 2,vakje 3 is leeg, vakje 4 bevat er 2 en vakje 5 bevat er 3.
Op deze manier weergegeven komt de vraag nu neer op: op hoeveel manieren kun je de sterretjes en streepjes door elkaar husselen?

Merk nu op dat er precies 6 = 5 + 1 = n + 1 streepjes nodig zijn om de 5 vakjes voor te stellen.
De voorstelling begint en eindigt altijd met een streepje, dus hou je 4 streepjes in het middenblok over. Deze 4 streepjes en de 8 sterretjes mogen nu op alle mogelijke manieren gerangschikt worden.
Dat kan op 12nCr8 manieren, want van die 12 symbolen zijn er 8 gereserveerd voor de sterretjes.
Maar je mag ook schrijven 12nCr4, namelijk als je op de 4 streepjes in plaats van de 8 sterretjes let.
Het getal 12 is opgebouwd uit 8 + 5 - 1, dus (r + n - 1)

Redenerend langs dezelfde weg krijg je dan met r voorwerpen en n vakjes (n + r - 1)nCr(r) mogelijkheden (als je op de sterretjes let) of (n + r - 1)nCr(n-1) als je op de streepjes let.

In je probleem met de dobbelstenen geldt nu n = 6.

Schrijf het eens helemaal uit met bijvoorbeeld r = 3 en n = 4; vermoedelijk zie je dan de redeneertrant beter in.

MBL

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 21 april 2003