Re: Cyclische groep

Dit is een reactie op vraag 86076

Ik vat dit niet. Stel je hebt een groep van 5 getallen: {0,1,2,3,4}. Wat ken ik met bovenstaande theorie met deze getallen concreet doen? Hoe kan ik modulair rekenen hier toepassen?

Herman
Ouder - donderdag 12 april 2018

Antwoord

Wat vat je niet? En waar ben je de kreet `cyclische groep' tegengekomen?
Het is wel belangrijk dat je de definitie van het begrip `groep' kent en begrijpt.
Wat \{0,1,2,3,4\} betreft: met `optellen modulo 5' als bewerking voldoet dit aan de eisen van `groep' (zie de wikipediapagina).
We definiëren nu x*y als x+y\pmod5, dus 0*0=0, 0*1=1, ..., 0*4=4, 1*0=1, ..., 1*3=4, 1*4=0, 2*0=2, ..., 2*3=0, 2*4=1, ..., tot en met 4*4=3.
Dit voldoet aan de regels, dus
(x*y)*z=x*(y*z) voor alle x, y, en z.
0*x=x voor alle x (0 is het neutrale element).
0*0=0, 1*4=0, 2*3=0, dus elk element heeft een inverse.
Dat is het: we hebben een groep gemaakt.
De groep is cyclisch omdat elk element te schrijven is als een macht van 1: 2=1*1, 3=1*1*1, 4=1*1*1*1 en 0=1*1*1*1*1 (en 1*1*1*1*1*1=1).
En met de machtennotatie kun je dus schrijven 2=1^2, 3=1^3, 3=1^4, en 0=1^5.
Veel mensen schrijven in dit geval, van modulo rekenen, gewoon x+y in plaats van x*y, en k\cdot x in plaats van x^k.

kphart
zaterdag 14 april 2018

©2001-2025 WisFaq