WisFaq!

Re: Cyclische groep

Ik vat dit niet. Stel je hebt een groep van 5 getallen: {0,1,2,3,4}. Wat ken ik met bovenstaande theorie met deze getallen concreet doen? Hoe kan ik modulair rekenen hier toepassen?

Herman
12-4-2018

Antwoord

Wat vat je niet? En waar ben je de kreet `cyclische groep' tegengekomen?
Het is wel belangrijk dat je de definitie van het begrip `groep' kent en begrijpt.
Wat $\{0,1,2,3,4\}$ betreft: met `optellen modulo $5$' als bewerking voldoet dit aan de eisen van `groep' (zie de wikipediapagina).
We definiëren nu $x*y$ als $x+y\pmod5$, dus $0*0=0$, $0*1=1$, ..., $0*4=4$, $1*0=1$, ..., $1*3=4$, $1*4=0$, $2*0=2$, ..., $2*3=0$, $2*4=1$, ..., tot en met $4*4=3$.
Dit voldoet aan de regels, dus
$(x*y)*z=x*(y*z)$ voor alle $x$, $y$, en $z$.
$0*x=x$ voor alle $x$ ($0$ is het neutrale element).
$0*0=0$, $1*4=0$, $2*3=0$, dus elk element heeft een inverse.
Dat is het: we hebben een groep gemaakt.
De groep is cyclisch omdat elk element te schrijven is als een macht van $1$: $2=1*1$, $3=1*1*1$, $4=1*1*1*1$ en $0=1*1*1*1*1$ (en $1*1*1*1*1*1=1$).
En met de machtennotatie kun je dus schrijven $2=1^2$, $3=1^3$, $3=1^4$, en $0=1^5$.
Veel mensen schrijven in dit geval, van modulo rekenen, gewoon $x+y$ in plaats van $x*y$, en $k\cdot x$ in plaats van $x^k$.

kphart
14-4-2018