Re: Snijpunt lijn met driehoek

Dit is een reactie op vraag 47560

Bedankt voor je antwoord. Vanaf de zin 'door middel van het uitprodukt' wordt de zaak nogal abstract voor mij. Kan u eventueel een voorbeeld geven?

Eric
Iets anders - zaterdag 11 november 2006

Antwoord

Voorbeeld:
3 punten vormen een driehoek: a=(1,2,1) b=(2,3,2) en c=(1,3,3)
Neem a als puntvector en b-a en c-a als richtingsvectoren.
b-a=(1,1,1) en c-a=(0,1,2)

Uitprodukt:
Laat v = (v1,v2,v3) en w = (w1, w2, w3) vectoren in de $\mathbf{R}$³ zijn. Het uitprodukt is dan: v x w = (v2w3 - v3w2, v3w1-v1w3, v1w2-v2w1).
Dus in ons geval is het uitprodukt van de twee richtingsvectoren:
(v2w3 - v3w2, v3w1-v1w3, v1w2-v2w1)
= (2-1 , 0-2, 1-0)
= (1,-2,1)

De vergelijking van het vlak is V: 1.x -2.y + 1.z = d
ofwel V: x-2y+z=d
om d te vinden vul je de puntvector a in: 1-4+1=d $\Rightarrow$ d=-2
de vergelijking van het vlak luidt dus V: x-2y+z=-2

Stel verder dat je 2 punten hebt waardoorheen een lijn loopt:
Bijvoorbeeld p=(1,0,0) en q=(0,1,1).
De vectorvoorstelling (vv) van de lijn luidt dan:
l: (x,y,z)=p + $\lambda$(q-p)
l: (x,y,z)=(1,0,0) + $\lambda$(-1,1,1)

Om het snijpunt van de lijn l te vinden met het vlak V, vul je de x y en z waarde van de vectorvoorstelling in, in de vergelijking van vlak V:
(1-$\lambda$) -2.(0+$\lambda$) + (0+$\lambda$) = -2 $\Leftrightarrow$
1-$\lambda$ -2$\lambda$ +$\lambda$ = -2 $\Leftrightarrow$
2$\lambda$=3 $\Rightarrow$ $\lambda$=3/2

Dus is het snijpunt (-¹/₂,1¹/₂,1¹/₂)

Hopelijk heeft dit voorbeeld e.e.a. verduidelijkt

Groeten,
martijn

mg
zaterdag 11 november 2006

Re: Re: Snijpunt lijn met driehoek

©2001-2024 WisFaq