WisFaq!

Re: Snijpunt lijn met driehoek

Bedankt voor je antwoord. Vanaf de zin 'door middel van het uitprodukt' wordt de zaak nogal abstract voor mij. Kan u eventueel een voorbeeld geven?

Eric
11-11-2006

Antwoord

Voorbeeld:
3 punten vormen een driehoek: a=(1,2,1) b=(2,3,2) en c=(1,3,3)
Neem a als puntvector en b-a en c-a als richtingsvectoren.
b-a=(1,1,1) en c-a=(0,1,2)

Uitprodukt:
Laat v = (v1,v2,v3) en w = (w1, w2, w3) vectoren in de $\mathbf{R}$³ zijn. Het uitprodukt is dan: v x w = (v2w3 - v3w2, v3w1-v1w3, v1w2-v2w1).
Dus in ons geval is het uitprodukt van de twee richtingsvectoren:
(v2w3 - v3w2, v3w1-v1w3, v1w2-v2w1)
= (2-1 , 0-2, 1-0)
= (1,-2,1)

De vergelijking van het vlak is V: 1.x -2.y + 1.z = d
ofwel V: x-2y+z=d
om d te vinden vul je de puntvector a in: 1-4+1=d $\Rightarrow$ d=-2
de vergelijking van het vlak luidt dus V: x-2y+z=-2

Stel verder dat je 2 punten hebt waardoorheen een lijn loopt:
Bijvoorbeeld p=(1,0,0) en q=(0,1,1).
De vectorvoorstelling (vv) van de lijn luidt dan:
l: (x,y,z)=p + $\lambda$(q-p)
l: (x,y,z)=(1,0,0) + $\lambda$(-1,1,1)

Om het snijpunt van de lijn l te vinden met het vlak V, vul je de x y en z waarde van de vectorvoorstelling in, in de vergelijking van vlak V:
(1-$\lambda$) -2.(0+$\lambda$) + (0+$\lambda$) = -2 $\Leftrightarrow$
1-$\lambda$ -2$\lambda$ +$\lambda$ = -2 $\Leftrightarrow$
2$\lambda$=3 $\Rightarrow$ $\lambda$=3/2

Dus is het snijpunt (-¹/₂,1¹/₂,1¹/₂)

Hopelijk heeft dit voorbeeld e.e.a. verduidelijkt

Groeten,
martijn

mg
11-11-2006