\require{AMSmath}

Overgangsmatrix

Een fokker wenst de invloed te kennen van de jaarlijkse verkoop van (volwassen) dieren op de kudde. Na één jaar is elk jong dier volwassen. Het aantal dieren dat geboren wordt is 50% van de volwassen dieren van het jaar voordien, en 20% van de jonge dieren sterven het jaar nadien. Er sterven ook 20% van de volwassen dieren het jaar nadien en 60% van de volwassen dieren worden het jaar nadien verkocht. Onderstel dat er aanvankelijk 70 jonge dieren zijn en 30 volwassen dieren.

a. Stel de evolutie van de dieren voor met een matrix
Dit wordt een 2x2 matrix met eerst de jonge dieren en vervolgens de volwassen dieren ,maar met welke getallen?
Van jong naar jong is dat 0,5*0,2=0,1? En van jong naar volwassen?Is dat dan 0,9?

Vannes
3de graad ASO - woensdag 9 november 2016

Antwoord

De aantallen jonge en oude dieren in jaar $n$ noem ik even $J_n$ en $O_n$. Dus $J_0=70$ en $O_0=30$.
Als ik het goed lees is een dier alleen in het eerste jaar jong, dus de enige jonge dieren zijn de kinderen van de volwassenen van het jaar daarvoor: dat betekent dat $J_{n+1}=0.5O_n$.
Alleen 80% van de jonge dieren wordt oud, dus hun bijdrage aan $O_{n+1}$ is $0.8 J_n$. Echter we raken 80% van de oude dieren kwijt, dus in totaal: $O_{n+1}=0.8J_n+0.2O_n$. Het is dus wat ingewikkelder dan je dacht.
Vul nu zelf de getallen in de matrix in:
$$
\begin{pmatrix} J_{n+1}\\O_{n+1}\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} . & . \\ . & .\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} J_n\\O_n\end{pmatrix}
$$

kphart
woensdag 9 november 2016

Re: Overgangsmatrix

©2001-2024 WisFaq