\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 82983

Re: Re: Getal van Euler

Dank voor de reactie! Dan heeft mijn docent een fout genoteerd...

Zou ik nog mogen vragen hoe we makkelijk kunnen aantonen dat lim (x $\to$ oneindig) ((1+(1/x))^x) = e

Mag je een limiet naar oneindig invullen? Dan bekom je (1+0)^oneindig = 1.

Lene
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 29 september 2016

Antwoord

`Oneindig invullen' mag eigenlijk nooit want, zoals je zelf laat zien, dat geeft nogal vaak een fout antwoord, zeker als je door $\infty$ deelt of $\infty$ in een exponent hebt staan.

Aantonen dat de limiet klopt is lastig of niet. Het hangt er van af hoe $e$ is gedefinieerd. In sommige boeken is de limiet gewoon de definitie van $e$, dus dan lijkt er niet veel te bewijzen, behalve dan dat de limiet bestaat. Dat kost wat moeite maar je kunt aantonen dat $(1+\frac1x)^x$ een stijgende functie is waarvan de waarden onder $3$ blijven, en daaruit volgt dat de limiet bestaat.

Als $e^x$ en $\ln x$ al bekend zijn kun je naar $\ln(1+\frac1x)^x=x\ln(1+\frac1x)$ kijken. Je kunt $\frac1x$ een andere naam geven, $u$ bijvoorbeeld en dan krijg je
$$
\lim_{x\to\infty}x\ln\left(1+\frac1x\right) = \lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}
$$
De laatste limiet is gelijk aan $1$ want het is eigenlijk de afgeleide van $\ln u$ in het punt $1$; en die afgeleide heeft waarde $1$.
Maar dan volgt
$$
\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^x = e^1
$$

kphart
donderdag 29 september 2016

Re: Re: Re: Getal van Euler

©2001-2024 WisFaq