\require{AMSmath}

Inductiebewijs

Bewijs voor iedere n∈^* dat volgende formule geldt:
1²-2²+3²-4²+...-(2n)² = -n(2n-1)

Mijn eerste idee was om volledige inductie te gebruiken, maar dat lukte niet. Toen heb ik de formule beter bekeken en begreep ook niet hoe ze aan (2n)² komen. Aangezien n een positief getal groter of gelijk aan 1 is, zal -n(2n-1) steeds negatief zijn, wat ook niet overeenkomt als je zelf de sommen (1²-2² etc.) maakt. Klopt deze opgave niet of zie ik iets over het hoofd? Alvast bedankt voor de hulp!

Tim
Student Hoger Onderwijs België - dinsdag 4 augustus 2009

Antwoord

Voor n=1 zou dan moeten gelden:
1²-2²=-1·(2·1-1)
-3=-1·1
-3=-1 klopt niet voor n=1

Voor n=2 zou dan moeten gelden:

1²-2²+3²-4²=-2(2·2-1)
1-4+9-16=-2·3
-10=-6 klopt niet voor n=2

De formule klopt niet, denk ik...

Maar misschien lukt het wel met -n(2n+1)?

Voor n=1 geldt:
1²-2²=-1·(2.1+1)
-3=-3
Klopt!

Voor n+1 zou dan moeten gelden:

1²-2²+3²-4²+...-(2(n+1))²=-(n+1)(2(n+1)+1)
1²-2²+3²-4²+...-(2n+2)²=-(n+1)(2(n+1)+1)
1²-2²+3²-4²+...-(2n)²+(2n+1)²-(2n+2)²=-(n+1)(2(n+1)+1)
-n(2n+1)+(2n+1)²-(2n+2)²=-(n+1)(2(n+1)+1)
...
Enz... zou dat lukken!?

WvR
dinsdag 4 augustus 2009

Re: Inductiebewijs

©2001-2024 WisFaq