\require{AMSmath}

Een goed te begrijpen bewijs voor de volgende stelling

Weet iemand een goed te begrijpen bewijs voor de stelling: De oppervlakte van een driehoek met zijden a, b en c is gelijk aan √(s(s-a)(s-b)(s-c)) waarbij s=¹/₂(a+b+c).

Gerard
Leerling onderbouw vmbo-havo-vwo - zaterdag 21 mei 2005

Antwoord

Hallo Gerard,

Het bewijs moet sluitend zijn voor alle driehoeken, dus ik ga uit van onderstaande willekeurige driehoek. Zonder rechte hoek dus.

We zien 2 Pythagoras driehoeken: ABD en ADC.
Hierbij horen de vergelijkingen: c²=h²+x² en b²=h²+(a-x)²
Ofwel: h²=c²-x² en h²=b²-(a-x)²
Hieruit volgt: c²-x²=b²-(a-x)² Zo ook: c²−x²=b²−(a²− 2ax+x²)
En: c²−x²=b²−a²+2ax−x² En: c²=b²−a²+2ax
Dus: 2ax=a²−b²+c²
Conclusie: x=^a2−b2+c2/_2a

Deze x nu invullen in: h²=c²-x²=(c - x)(c + x)
Dit levert: h²=^{(−a+b+c)(a+b−c)(a−b+c)(a+b+c)}/_4a²

Nu komt de s erbij, om bovenstaande vergelijking te vereenvoudigen. De nieuwe letter s staat voor de halve omtrek, dus ¹/₂(a+b+c).
We krijgen nu de volgende vergelijkingen:
(a+b+c)=2s
(-a+b+c)=2s-2a
(a+b-c)=2s-2c
(a-b+c)=2s-2b

De eerder gevonden formule: h²=^{(−a+b+c)(a+b−c)(a−b+c)(a+b+c)}/_4a² gaat dus nu over in:
h²=^{2s(2s−2a)(2s−2b)(2s−2c)}/_4a²
Dus: h²=^{4s(s-a)(s-b)(s-c)}/_a²
Dus: h=^{2√s(s-a)(s-b)(s-c)}/_a

En omdat (kijkend naar het beginplaatje) de oppervlakte van de driehoek ^ah/₂ is, is nu de oppervlakte van de driehoek dus ook:
√s(s-a)(s-b)(s-c)

Zo kun je dus de oppervlakte van elke willekeurige driehoek berekenen als de de drie zijden weet.
Duidelijk Gerard?

Groeten, FV

Zie De formule van Heron

FV
zaterdag 21 mei 2005

Re: Een goed te begrijpen bewijs voor de volgende stelling

Re: Een goed te begrijpen bewijs voor de volgende stelling

©2001-2024 WisFaq