WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Re: Limieten bewijzen

Dit is een reactie op vraag 83134

"Maar wanneer voor een vaste epsilon een bepaalde waarde van delta voldoet, dan voldoet eender welke kleinere delta ook." Kan u even duiding geven bij vorige zin? Waarom een vaste waarde van epsilon?

Voor delta = 1 zal | x-1 | 1 = -1 x-1 1 = 0x2 Hierdoor zal de noemer dus naar nul kunnen naderen, waardoor we een een grote breuk bekomen.

Bij de keuze van delta = 1/2 bekomen we uiteindelijk 1/2 x 3/2 waardoor we de 0 vermijden en dus ook de grote breuk.

Klopt dit? Het klopt dus ook dat x wel 0 had mogen zijn, indien x niet in de noemer was voorgekomen?

Ik ben echter in de war door je keuze van delta = epsilon/2 en niet delta = 3epsilon/2. Je moet epsilon toch het minimum nemen van het interval (1/2, 3epsilon/2) ?

Aangezien je uit 1/2 x 3/2 kunt afleiden dat x 3/2. Dit vul je in in 1/| x|, wat 1/(3/2) of 2/3 geeft als waarde voor C.

Indien we deze dan terug invullen in | x-1 | epsilon/C= delta bekomen we voor delta de waarde 3epsilon/2?
LC
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 26 oktober 2016

Antwoord

Beste LC,

1) Daarmee bedoel ik het volgende: er moet iets aangetoond worden voor een willekeurig kleine (positieve) epsilon. Als epsilon kleiner is, zal delta in het algemeen ook kleiner moeten worden. Stel dat je voor een bepaalde (vaste) waarde van epsilon een geschikte delta gevonden hebt (ttz. zodat $0$<$|x-a|$<$\delta$ impliceert dat $|f(x)-L| $<$ \varepsilon$), dan is eender welke kleinere waarde van delta ook geschikt. Je kan je dus op voorhand beperken tot waarden van delta onder een zekere grens en dat laat je toe om grip te krijgen op $x$ en dus ook op uitdrukkingen die functie zijn van $x$.

2) Klopt, in dit voorbeeld wil je dat $x$ weg blijft van $0$, omdat de breuk anders willekeurig groot kan worden terwijl je die net klein wil houden. In je eerste opgave zouden $x$-waarden in de buurt van (of gelijk aan) 0 geen probleem geweest zijn.

3) Let op: als $\tfrac{1}{2} < x < \tfrac{3}{2}$, dan geldt net dat $\tfrac{1}{x} < \tfrac{1}{1/2} = 2$. Je maakt een breuk immers groter door de noemer kleiner te maken dus we vervangen $x$ door zijn minimale waarde om een idee te krijgen van een bovengrens van $\tfrac{1}{x}$. Dat is waarom je in mijn vorige reactie de noemer niet door 3/2 maar door 1/2 vervangen ziet worden, wat leidt tot $2\delta$ als bovengrens en dus de keuze $\delta = \tfrac{\varepsilon}{2}$.

Door $\delta = \tfrac{\varepsilon}{2}$ te kiezen hebben we dus dat (zie vorige opgave):
$$|f(x)-L| = \frac{\left| x-1 \right|}{|x|} \le \frac{\delta}{\tfrac{1}{2}} = 2\delta = 2\tfrac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$$Duidelijker zo?

mvg,
Tom

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 26 oktober 2016

Re: Re: Re: Limieten bewijzen