WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Limieten bewijzen

Dit is een reactie op vraag 83128

Dag Tom,

Allereerst dank voor de zeer duidelijke respons!

Wat de keuze van delta betreft: als ik het goed begrijp mag deze dus steeds vrij gekozen worden? Of kan de keuze ook fout zijn indien delta te ruim wordt gekozen? (De richtlijnen zijn me nog niet helemaal duidelijk)

In de les zagen wij ook het volgende voorbeeld:
lim (x$\to$1) (1/x)=1

Hierbij gaf de docent aan dat delta ¹/₂ moest zijn (of ¹/₄), en was er dus geen sprake van een delta gelijk aan 1.

Als rede gaf hij op:
- functie is een quotiënt
- absolute waarde van (x-1)

Ik begreep zijn argumenten echter niet en heb dus nooit richtlijnen gekregen voor het bepalen van een delta.

Groetjes
LC
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 26 oktober 2016

Antwoord

Beste LC,

Vrij gekozen is veel gezegd: je moet natuurlijk wel tonen dat er voor elke willekeurige $\varepsilon $>$ 0$, een $\delta $>$ 0$ gevonden kan worden zodat ... (zie definitie).

Maar wanneer voor een vaste $\varepsilon$ een bepaalde waarde van $\delta$ voldoet, dan voldoet eender welke kleinere $\delta$ ook. Dat betekent dat we $\delta$ sowieso zelf kunnen beperken tot waarden onder een bepaalde grens. Door zo een vaste bovengrens te nemen, kunnen we afleiden wat de mogelijke waarden van $x$ zijn en bepaalde uitdrukkingen afschatten.

Voor de limiet van $\tfrac{1}{x}$ voor $x$ gaande naar $1$ wil je dat de volgende uitdrukking kleiner gemaakt kan worden dan eender welke $\varepsilon $>$ 0$:
$$\left| \frac{1}{x}-1 \right|=\left| \frac{1-x}{x} \right| = \frac{\left| x-1 \right|}{|x|}$$en het enige waar wij controle over hebben is de keuze van $\delta$ waarbij geldt dat $0 $<$ |x-1|$<$ \delta$.

Merk in dit geval op dat de teller kleiner is dan $\delta$, dus dat is al goed. Het enige dat roet in het eten kan gooien is de noemer $|x|$. De breuk wordt immers groot, wanneer de noemer klein wordt. Maar door $\delta$ slim te beperken, kunnen we een goede ondergrens voor $|x|$ vinden. Je wil echter weg van $x=0$ blijven, want als de noemer dicht bij $0$ komt, wordt de breuk net heel groot. Een keuze van $\delta=1$ zou toelaten dat $x$ dichtbij $0$ komt (zie je in waarom?).

Een 'veilige' keuze voor $\delta$ is dus een waarde kleiner dan 1, bijvoorbeeld (maar niet noodzakelijk!) $\delta = \tfrac{1}{2}$. Met die waarde van $\delta$ heb je immers dat uit $|x-1|$<$ \delta$ volgt dat $|x-1|$<$ \tfrac{1}{2}$ zodat $x$ gelegen is tussen $\tfrac{1}{2}$ en $\tfrac{3}{2}$. Daardoor weet je dat:
$$\frac{\left| x-1 \right|}{|x|} \le \frac{\delta}{\tfrac{1}{2}} = 2\delta$$en de breuk links is dus steeds kleiner dan $\varepsilon$ als we $\delta = \tfrac{\varepsilon}{2}$ kiezen.

Let op: dit is immers de 2e voorwaarde die we aan $\delta$ opleggen en herinner je dat kleinere $\delta$'s altijd oké zijn: we kiezen $\delta$ dus gelijk aan het minimum van de gestelde voorwaarden, kies $\delta = \mbox{min}\left\{ \tfrac{1}{2},\tfrac{\varepsilon}{2} \right\}$.

Probeer eventueel zelf na te gaan hoe dit eruit zou zien als je delta in eerste instantie gelijk aan $\tfrac{1}{4}$ neemt.

mvg,
Tom

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 26 oktober 2016

Re: Re: Limieten bewijzen