WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Re: Re: Limieten bewijzen

Dit is een reactie op vraag 83137

Allereerst dank voor de uitgebreide uitleg!!!

Oei, ook op dat vlak is het nu dus een uitzondering.

Je wil een zicht krijgen op de bovengrens, dus kies je:
- zonder x in de noemer: steeds de grootste waarde
- met x in de noemer: kleinste waarde, aangezien je zo een grotere breuk krijgt

Ik veronderstel dus dat het mogelijk is dat er een fout werd gemaakt in de uitwerkingen door mijn docent? Ik heb die even doorgemaild.

Nog even 2 algemene vraagjes om te eindigen:

a) “Om aan alle afschattingen te voldoen, kies je delta =min(1, epsilon/19).”, zei je voordien. In dat geval kozen we uiteindelijk delta = epsilon/19. In dit geval is delta = min (1/2, epsilon/2)
Waarom moeten we een interval opstellen en er dan het minimum van nemen? We hebben delta toch gelijk gesteld aan epsilon/19 of epsilon/2 in dit geval? Of kan het soms toch die 1 of respectievelijk die 1/2 zijn die we nodig hebben?

b) Bij aanvang zei u: “Aangezien jij moet tonen dat er voor elke epsilon een geschikte delta bestaat, kan je er zelf voor kiezen om delta in elk geval kleiner dan een bepaalde waarde te nemen. Door delta op die manier te beperken, beperk je ook de mogelijke waarden van x en daarmee ook de mogelijke grootte van die tweede factor.”

Ik begrijp de eerste zin niet goed. Wat is het voordeel van het kiezen van een kleinere delta op het feit dat het dan voor elke epsilon zou gelden? Of moeten we hier gewoon op die manier te werk gaan (kleine delta kiezen) om het bewijs te kunnen voeren?

Ik begrijp wel dat door delta klein te kiezen het aantal mogelijkheden voor x beperkter wordt en dus ook de grootte van de factor x^2 + 2x +4 beperkt is.

LC
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 26 oktober 2016

Antwoord

Beste LC,

Ik zou het geen uitzondering noemen. Je moet immers steeds hetzelfde doen: aantonen dat er voor elke $\varepsilon $>$ 0$, een $\delta $>$ 0$ bestaat zodat uit $0 $<$ |x-a| $<$ \delta$ volgt dat $|f(x)-L|$<$\varepsilon$. Gewoonlijk werk je van achter naar voor door van de uitdrukking $|f(x)-L|$ te vertrekken om zo te ontdekken hoe je $\delta$ moet kiezen zodat $|f(x)-L|$ inderdaad onder $\varepsilon$ blijft.

Om dat te doen, zal je de uitdrukking $|f(x)-L|$ naar boven willen afschatten. Daarvoor moet je gewoon netjes de (reken)regels van ongelijkheden respecteren, o.a. geldt dat (met $a,b>0$) als $a$<$b$, dan $\tfrac{1}{a} $>$ \tfrac{1}{b}$. Om breuken naar boven af te schatten, moet je de noemers dus naar onder afschatten. De uitwerking die je meestuurde, klopt om die reden inderdaad niet.

a) Het gaat hier niet om een interval, maar om een verzameling van twee elementen; je interpreteerde en kopieerde de notatie dus verkeerd. Opdat alle stappen geldig zijn in bv. de eerste redenering, moet $\delta$ zowel ten hoogste $1$ (want dat hebben we gebruikt) zijn als ten hoogste $\tfrac{\varepsilon}{19}$ (want dat hebben we uiteindelijk ook nodig). Hieraan is dus zeker voldaan als we voor $\delta$ de kleinste van deze twee waarden nemen, symbolisch kan je dat noteren als $\delta = \mbox{min}\{ 1, \tfrac{\varepsilon}{19} \}$.

b) De reden waarom er vaak een bijkomende beperking op die $\delta$ wordt ingevoerd, is om het bewijs verder eenvoudiger te laten verlopen. Zoals ik eerder al schreef, leidt het (slim) beperken van $\delta$ tot (nuttige) beperkingen op $x$, waardoor bepaalde uitdrukkingen (denk aan die tweede factor of later die noemer) afgeschat kunnen worden. Dat maakt het dan weer gemakkelijker om te zien hoe $\delta$ verder gekozen moet worden zodat $|f(x)-L|$ onder $\varepsilon$ blijft.

Als je veel moeite hebt met deze concepten, moet je je docent misschien eens om extra uitleg vragen.

mvg,
Tom

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 26 oktober 2016