WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Newton-raphson

Dit is een reactie op vraag 42612

bedankt voor de toelichting
ik vroeg me af of dit het enige geval was waarbij de methode niet werkt. ik vond dit op het net:

" IN WELKE GEVALLEN WERKT DE NEWTON-RAPHSON METHODE NIET?

De Newton-Raphson methode werkt niet bij elke formule. Er zijn een aantal voorwaarden.
• Als in de formule het gedeelte gelijk is aan 1, werkt de methode niet. Dit komt doordat dx dan niet kleiner dan 1 wordt.
Voorbeeld:
F(x)=ex+1
F’(x)=ex+1
X0=3

Xn F(x) F’(x) Xn+1 dx
3 54,6 54,6 2 1
2 20,09 20,09 1 1
1 7,39 7,39 0 1

• De grafiek moet ook door het nulpunt gaan, anders kan je het nulpunt niet uitrekenen.
• Als bij de formule f(x)=xa de a kleiner dan 1 is, werkt de Newton-Raphson methode ook niet. Als de a kleiner dan 1 is, wordt de dx groter dan 1, waardoor de dx dus alleen maar verder van nul gaat. F(x)=x1/3
F’(x)=(1/3)x-2/3
Als je de formule Xn+1=xn-(f/f’) invult met de hierboven genoemde formules krijg je:
Xn+1 = Xn-3*Xn
De dx kan alleen maar naar 0 gaan als X0=0"

ik snapt de 3 gevallen niet goed.kunt U het met voorbeelden en evt. schetsjes beantwoorden?

zou je deze twee vragen kunnen beantwoorden?

bij voorbaat dank,

kailiang

karel
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 4 januari 2006

Antwoord

In het eerste voorbeeld zorgt men er voor dat het verschil tussen x_n en x_n+1 altijd 1 is; dan convergeert de methode dus nooit. De gegeven functie is ook de enig mogelijke: alleen de e-macht heeft de eigenschap dat f=f'.
De e-macht heeft ook geen nulpunt; nogal logisch dus dat Newton-Raphson niets zal vinden, er is niets om te vinden ... Dit wordt bij het tweede voorbeeld nog eens algemeen opgemerkt. Achteraf is voorbeeld 1 een special geval van 2.
Wat de derde betreft: als je f(x)/f'(x) = x^1/3/(1/3*x^-2/3 netjes uitwerkt krijg je 3x; de N-R-formule wordt dan x_n+1=x_n-3x_n=-2x_n. Algemeen volgt dan dat x_n=(-2)ⁿx₀; dat loopt bij 0 weg als x₀ ongelijk aan 0 is.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 9 januari 2006