WisFaq!

Re: Newton-raphson

bedankt voor de toelichting
ik vroeg me af of dit het enige geval was waarbij de methode niet werkt. ik vond dit op het net:

" IN WELKE GEVALLEN WERKT DE NEWTON-RAPHSON METHODE NIET?

De Newton-Raphson methode werkt niet bij elke formule. Er zijn een aantal voorwaarden.
• Als in de formule het gedeelte gelijk is aan 1, werkt de methode niet. Dit komt doordat dx dan niet kleiner dan 1 wordt.
Voorbeeld:
F(x)=ex+1
F’(x)=ex+1
X0=3

Xn F(x) F’(x) Xn+1 dx
3 54,6 54,6 2 1
2 20,09 20,09 1 1
1 7,39 7,39 0 1

• De grafiek moet ook door het nulpunt gaan, anders kan je het nulpunt niet uitrekenen.
• Als bij de formule f(x)=xa de a kleiner dan 1 is, werkt de Newton-Raphson methode ook niet. Als de a kleiner dan 1 is, wordt de dx groter dan 1, waardoor de dx dus alleen maar verder van nul gaat. F(x)=x1/3
F’(x)=(1/3)x-2/3
Als je de formule Xn+1=xn-(f/f’) invult met de hierboven genoemde formules krijg je:
Xn+1 = Xn-3*Xn
De dx kan alleen maar naar 0 gaan als X0=0"

ik snapt de 3 gevallen niet goed.kunt U het met voorbeelden en evt. schetsjes beantwoorden?

zou je deze twee vragen kunnen beantwoorden?

bij voorbaat dank,

kailiang

karel
4-1-2006

Antwoord

In het eerste voorbeeld zorgt men er voor dat het verschil tussen x_n en x_n+1 altijd 1 is; dan convergeert de methode dus nooit. De gegeven functie is ook de enig mogelijke: alleen de e-macht heeft de eigenschap dat f=f'.
De e-macht heeft ook geen nulpunt; nogal logisch dus dat Newton-Raphson niets zal vinden, er is niets om te vinden ... Dit wordt bij het tweede voorbeeld nog eens algemeen opgemerkt. Achteraf is voorbeeld 1 een special geval van 2.
Wat de derde betreft: als je f(x)/f'(x) = x^1/3/(1/3*x^-2/3 netjes uitwerkt krijg je 3x; de N-R-formule wordt dan x_n+1=x_n-3x_n=-2x_n. Algemeen volgt dan dat x_n=(-2)ⁿx₀; dat loopt bij 0 weg als x₀ ongelijk aan 0 is.

kphart
9-1-2006