WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Differentiëren

Een algemne formule voor de afgeleide van een quotiënt van twee functies wordt alsvolgt uitgewerkt.
Als geldt:
1) z(x) = 1/y(x) dan is
2) z(x). y(x) = 1
Dit kunnen we differentiëren volgens de productregel:

z .(dy/dx) + y.(dz/dx) = 0

Deze uitdrukking laat zich oplossen voor dz/dx, hetgeen resulteert in:

dz/dx = -z . dy/y dx = - 1/y^2 .dy/dx

Met andere woorden, de afgeleide van een quotiënt van twee functies luidt in algemene vorm:
d/dx. (1/y) = - (1/x^2) dy/dx

en, als geldt dat y = x^n

d/dx. (x^-n) = -1/x^2n . nx^n-1 = -n x^-n-1

Ik snap hier niks van:

Ik snap wel hoe je de functie z(x) = 1/y(x) definieert als je als volgt te werk gaat:
dz/dx 1/x =
dz/dx x^-1
dz/dx = -1 x^-1-1 =
dz/dx = -1x^2 =
dz/dx = -1/x^2:
y' = -1/x^2

Maar bovenstaande aanpak kan ik niet volgen.
Boven wordt gesteld, als geldt:
1) z(x) = 1/y(x) dan is
2) z(x). y(x) = 1 (dit kan ik volgen!)

Dit kunnen we differentiëren volgens de productregel:
z .(dy/dx) + y.(dz/dx) = 0
Dit kan ik niet volgen!

Volgens mij ligt het probleem erin dat ik als de te differentiëren functie altijd de vorm y = f(x) in gedachten heb. Ik weet niet hoe je een uitdrukkingsvorm als
z(x). y(x) = 1 diffenrentieer

Deze oplossingswijze vervolgt met: de uitdrukking laat zich oplossen voor dz/dx, hetgeen resulteert in:
dz/dx = -z . dy/y dx = - 1/y^2 .dy/dx
Dit snap ik ook niet!
Je diffenrieert de functie: z(x). y(x) = 1, en je lost het op voor dz/dx. Waarom niet voor dy/dx?

Yara
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 7 juli 2005

Antwoord

Hallo

Je wil dus het volgende bewijzen:

^dz(x)/_dx = - ^dy(x)/_dx *¹/_(y(x))².

Hierbij is z(x)=¹/_y(x) met y(x) willekeurig. Je kan deze formule bijvoorbeeld gebruiken om de afgeleide te berekenen van ¹/_(x²+6x) en ook, zoals in jouw voorbeeld, om de afgeleide van ¹/_x te berekenen. In dit laatste geval is y(x)=x.

Dus z(x)= ¹/_y(x). Deze laatste vergelijking kan je herleiden tot z(x) * y(x) = 1. Deze uitdrukking gaat men nu differentiëren. Hiermee wil men zeggen: het linkerlid differentiëren naar x en ook het rechterlid differentiëren naar x. Dit mag en verandert niets aan de gelijkheid. Dus

z(x) * y(x) = 1
Þ ^{d(z(x) * y(x))}/_dx = ^d(1)/_x Þ (de afgeleide van 1 is nul want 1 is een constante)
^{d(z(x) * y(x))}/_dx = 0
Þ (we leiden z(x) *y(x) af naar x, hiervoor gebruiken we de productregel)
z(x) * ^dy/_dx + y(x) * ^dz/_dx = 0

De productregel heb je waarschijnlijk ook gezien in de les, nog voor dit bewijs. Ook hier vind je wat uitleg. Je gaat de laatst bekomen formule oplossen naar ^dz/_dx. Waarom naar ^dz/_dx? Omdat je juist de formule voor de afgeleide van z(x) naar x wil krijgen. Dat is immers wat je moet bewijzen: de formule voor de afgeleide van z(x) naar x. We lossen de vgl dus op naar ^dz/_dx.

^dz/_dx = - ^z(x)/_y(x) * ^dy/_dx Þ ( omdat z(x) = ¹/_y(x) )
^dz/_dx = - ¹/_(y(x))² * ^dy/_dx.

Deze laatste formule is precies de formule die je moest bewijzen. Je hebt dus bewezen dat de afgeleide voor alle functies van de vorm ¹/_y(x) met y(x) een willekeurige functie - ¹/_(y(x))² * ^dy/_dx is, met ^dy/_dx de afgeleide van y(x) naar x. Indien je nog twijfelt probeer de formule eens voor z(x)= ¹/_(x²+6x).

Opmerking: dit is niet de algemene formule voor een quotiënt van twee functies, maar wel de algemene formule voor 1 gedeeld door een willekeurige functie. De algemene formule voor het quotiënt van twee functies is nog wat ingewikkelder.

Beetje duidelijker?
Groetjes

Igor

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 9 juli 2005