Differentiëren

Een algemne formule voor de afgeleide van een quotiënt van twee functies wordt alsvolgt uitgewerkt.
Als geldt:
1) z(x) = 1/y(x) dan is
2) z(x). y(x) = 1
Dit kunnen we differentiëren volgens de productregel:

z .(dy/dx) + y.(dz/dx) = 0

Deze uitdrukking laat zich oplossen voor dz/dx, hetgeen resulteert in:

dz/dx = -z . dy/y dx = - 1/y^2 .dy/dx

Met andere woorden, de afgeleide van een quotiënt van twee functies luidt in algemene vorm:
d/dx. (1/y) = - (1/x^2) dy/dx

en, als geldt dat y = x^n

d/dx. (x^-n) = -1/x^2n . nx^n-1 = -n x^-n-1

Ik snap hier niks van:

Ik snap wel hoe je de functie z(x) = 1/y(x) definieert als je als volgt te werk gaat:
dz/dx 1/x =
dz/dx x^-1
dz/dx = -1 x^-1-1 =
dz/dx = -1x^2 =
dz/dx = -1/x^2:
y' = -1/x^2

Maar bovenstaande aanpak kan ik niet volgen.
Boven wordt gesteld, als geldt:
1) z(x) = 1/y(x) dan is
2) z(x). y(x) = 1 (dit kan ik volgen!)

Dit kunnen we differentiëren volgens de productregel:
z .(dy/dx) + y.(dz/dx) = 0
Dit kan ik niet volgen!

Volgens mij ligt het probleem erin dat ik als de te differentiëren functie altijd de vorm y = f(x) in gedachten heb. Ik weet niet hoe je een uitdrukkingsvorm als
z(x). y(x) = 1 diffenrentieer

Deze oplossingswijze vervolgt met: de uitdrukking laat zich oplossen voor dz/dx, hetgeen resulteert in:
dz/dx = -z . dy/y dx = - 1/y^2 .dy/dx
Dit snap ik ook niet!
Je diffenrieert de functie: z(x). y(x) = 1, en je lost het op voor dz/dx. Waarom niet voor dy/dx?

Yara
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 7 juli 2005

Antwoord

Hallo

Je wil dus het volgende bewijzen:

^dz(x)/_dx = - ^dy(x)/_dx *¹/_(y(x))².

Hierbij is z(x)=¹/_y(x) met y(x) willekeurig. Je kan deze formule bijvoorbeeld gebruiken om de afgeleide te berekenen van ¹/_(x²+6x) en ook, zoals in jouw voorbeeld, om de afgeleide van ¹/_x te berekenen. In dit laatste geval is y(x)=x.

Dus z(x)= ¹/_y(x). Deze laatste vergelijking kan je herleiden tot z(x) * y(x) = 1. Deze uitdrukking gaat men nu differentiëren. Hiermee wil men zeggen: het linkerlid differentiëren naar x en ook het rechterlid differentiëren naar x. Dit mag en verandert niets aan de gelijkheid. Dus

z(x) * y(x) = 1
Þ ^{d(z(x) * y(x))}/_dx = ^d(1)/_x Þ (de afgeleide van 1 is nul want 1 is een constante)
^{d(z(x) * y(x))}/_dx = 0
Þ (we leiden z(x) *y(x) af naar x, hiervoor gebruiken we de productregel)
z(x) * ^dy/_dx + y(x) * ^dz/_dx = 0

De productregel heb je waarschijnlijk ook gezien in de les, nog voor dit bewijs. Ook hier vind je wat uitleg. Je gaat de laatst bekomen formule oplossen naar ^dz/_dx. Waarom naar ^dz/_dx? Omdat je juist de formule voor de afgeleide van z(x) naar x wil krijgen. Dat is immers wat je moet bewijzen: de formule voor de afgeleide van z(x) naar x. We lossen de vgl dus op naar ^dz/_dx.

^dz/_dx = - ^z(x)/_y(x) * ^dy/_dx Þ ( omdat z(x) = ¹/_y(x) )
^dz/_dx = - ¹/_(y(x))² * ^dy/_dx.

Deze laatste formule is precies de formule die je moest bewijzen. Je hebt dus bewezen dat de afgeleide voor alle functies van de vorm ¹/_y(x) met y(x) een willekeurige functie - ¹/_(y(x))² * ^dy/_dx is, met ^dy/_dx de afgeleide van y(x) naar x. Indien je nog twijfelt probeer de formule eens voor z(x)= ¹/_(x²+6x).

Opmerking: dit is niet de algemene formule voor een quotiënt van twee functies, maar wel de algemene formule voor 1 gedeeld door een willekeurige functie. De algemene formule voor het quotiënt van twee functies is nog wat ingewikkelder.

Beetje duidelijker?
Groetjes

Igor
zaterdag 9 juli 2005

©2001-2024 WisFaq