WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Zech log-functie

Dit is een reactie op vraag 12612

Sorry, maar daarmee geraak ik niet veel verder. Toch bedankt. Ik heb deze functie nodig om bvb. de volgende oefening op te lossen :

Los op in GF(9) : a²x² - a⁵x + a

Hoe los ik zo'n vergelijking dus op in GF(9) ?

Bedankt.
Sam
Student universiteit België - donderdag 19 juni 2003

Antwoord

Hallo,
De Zech-logtabel legt het verband tussen de multiplicatieve notatie, en de additieve notatie. Vb in F9 hebben elementen additief de vorm:
0,1,2,a,a+1,a+2,2a,2a+1,2a+2
Multiplicatief: 0,a,a²,a³,...,a⁷.
Die tabel wordt zo bekomen:
(1+aⁱ) = a^J(i)
Hierbij is a de wortel van een irreducibele polynoom, die meestal gegeven wordt. In het voorbeeld van jouw tabel was die polynoom a³+a+1.
Ook geldt er: a^q-1=1
En als q=8, dan werk je met karakteristiek 2, want 8 is een macht van 2. Vandaar dat 1+a = a³ (kar 2, dan + = -)
1+a² = (1+a)² = a⁶
1+a³=a
enzovoort.
De graad van die polynoom is gelijk aan h, als je q=p^h stelt.

Hoe kan je nu die vergelijking oplossen? q=9, dus de karakteristiek is oneven, en dan mag je gewoon met de discriminant werken.
b²-4ac = a¹⁰-4a³ = a²-a³ = ? en hiervoor heb je de Zech-logtabel nodig, en dus heb je die polynoom nodig.
Het moet dus een kwadratische polynoom zijn in karakteristiek 3, want 9=3². En a⁸=1.
Misschien a²-a-1? Dan geldt:
a=a
a²=a+1
a³=a²+a=a+1+a=2a+1
a⁴=2a²+a=2a+2+a=2=-1
a⁵=-a
a⁶=-a²= -a-1
a⁷=-a²-a=-a-1-a=a-1
a⁸=a²-a=a+1-a=1, dus dat klopt!

Hieruit haal je dan eenvoudig je Zech-logtabel, en vind je dat de discriminant (die was a²-a³) wordt:
a+1-2a-1=-a=a⁵
Dit is echter geen kwadraat in F9 want 5 (of 13, of 21, of...) is oneven, dus de vergelijking heeft geen oplossingen.

Groeten,
Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 19 juni 2003