WisFaq!

Re: Zech log-functie

Sorry, maar daarmee geraak ik niet veel verder. Toch bedankt. Ik heb deze functie nodig om bvb. de volgende oefening op te lossen :

Los op in GF(9) : a²x² - a⁵x + a

Hoe los ik zo'n vergelijking dus op in GF(9) ?

Bedankt.

Sam
19-6-2003

Antwoord

Hallo,
De Zech-logtabel legt het verband tussen de multiplicatieve notatie, en de additieve notatie. Vb in F9 hebben elementen additief de vorm:
0,1,2,a,a+1,a+2,2a,2a+1,2a+2
Multiplicatief: 0,a,a²,a³,...,a⁷.
Die tabel wordt zo bekomen:
(1+aⁱ) = a^J(i)
Hierbij is a de wortel van een irreducibele polynoom, die meestal gegeven wordt. In het voorbeeld van jouw tabel was die polynoom a³+a+1.
Ook geldt er: a^q-1=1
En als q=8, dan werk je met karakteristiek 2, want 8 is een macht van 2. Vandaar dat 1+a = a³ (kar 2, dan + = -)
1+a² = (1+a)² = a⁶
1+a³=a
enzovoort.
De graad van die polynoom is gelijk aan h, als je q=p^h stelt.

Hoe kan je nu die vergelijking oplossen? q=9, dus de karakteristiek is oneven, en dan mag je gewoon met de discriminant werken.
b²-4ac = a¹⁰-4a³ = a²-a³ = ? en hiervoor heb je de Zech-logtabel nodig, en dus heb je die polynoom nodig.
Het moet dus een kwadratische polynoom zijn in karakteristiek 3, want 9=3². En a⁸=1.
Misschien a²-a-1? Dan geldt:
a=a
a²=a+1
a³=a²+a=a+1+a=2a+1
a⁴=2a²+a=2a+2+a=2=-1
a⁵=-a
a⁶=-a²= -a-1
a⁷=-a²-a=-a-1-a=a-1
a⁸=a²-a=a+1-a=1, dus dat klopt!


Hieruit haal je dan eenvoudig je Zech-logtabel, en vind je dat de discriminant (die was a²-a³) wordt:
a+1-2a-1=-a=a⁵
Dit is echter geen kwadraat in F9 want 5 (of 13, of 21, of...) is oneven, dus de vergelijking heeft geen oplossingen.

Groeten,
Christophe.

Christophe
19-6-2003