5. Hypergeometrische verdeling

Voorbeeld 1

In een vaas zitten 12 witte en 8 rode knikkers. Je pakt hieruit 4 knikkers zonder terugleggen. Wat is de kans op 3 witte knikkers?

Antwoord

Je kunt deze vraag als volgt beantwoorden.

  1. Bereken P(w,w,w,r)
  2. Bereken het aantal mogelijke volgordes
  3. Bereken de kans op 3 wit en 1 rood

Uitwerking

\eqalign{   & P(w,w,w,r) = \frac{{12}}{{20}} \cdot \frac{{11}}{{19}} \cdot \frac{{10}}{{18}} \cdot \frac{8}{{17}} = \frac{{88}}{{969}}  \cr   & P(3\,\,wit\,\,en\,\,1\,\,rood) = 4 \cdot \frac{{88}}{{969}} = \frac{{352}}{{969}} \cr}

Hypergeometrische verdeling

Een andere manier om dit soort problemen aan te pakken is met de volgende 'redenering':

Als je niet op de volgorde let, dan zijn er
\left( {\begin{array}{*{20}c} {12} \\ 3 \\ \end{array}} \right) manieren om 3 van de 12 witte knikkers te pakken.
Er zijn \left( {\begin{array}{*{20}c} 8 \\ 1 \\ \end{array}} \right) manieren om 1 van de 8 rode knikkers te pakken.
In totaal zijn er dus \left( {\begin{array}{*{20}c} {12} \\ 3 \\ \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} 8 \\ 1 \\ \end{array}} \right) manieren om 3 witte en 1 rode knikker uit de vaas te pakken.
In totaal zijn er \left( {\begin{array}{*{20}c} {20} \\ 4 \\ \end{array}} \right) manieren om 4 knikkers uit de vaas te pakken.

P(3 wit en 1 rood)= \frac{{\left({\begin{array}{*{20}c} {12}\\ 3\\ \end{array}}\right)\cdot\left({\begin{array}{*{20}c} 8\\ 1\\ \end{array}}\right)}}{{\left({\begin{array}{*{20}c} {20}\\ 4\\ \end{array}}\right)}}=\Large\frac{{352}}{{969}}

Algemeen

In een vaas bevinden zich a witte en b rode knikkers. Je pakt er n knikkers uit. De kans op k witte knikkers is dan

P(X = k) = \frac{{\left( {\begin{array}{*{20}c} a \\ k \\ \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c} b \\ {n - k} \\ \end{array}} \right)}}{{\left( {\begin{array}{*{20}c} {a + b} \\ n \\ \end{array}} \right)}}

Voorbeeld 2

In een klas zitten 12 jongens en 15 meisjes. Uit deze klas gaan 5 leerlingen een feest organiseren. Je kiest willekeurig 5 leerlingen. Wat is de kans dat er 3 jongens (en dus 2 meisjes) in dit comité zitten?

Antwoord

P(X = 3) = \frac{{\left( {\begin{array}{*{20}c} {12} \\ 3 \\ \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c} {15} \\ 2 \\ \end{array}} \right)}}{{\left( {\begin{array}{*{20}c} {27} \\ 5 \\ \end{array}} \right)}} = 0,286

...en dat is toch handig!

Met de GR?

Met de grafische rekenmachine kan je dat zo berekenen:

Zie ook 3. Combinaties

Voorbeeld 3

De hypergeometrische verdeling heeft nog een voordeel: het werkt ook bij meerdere mogelijkheden.

F.A.Q.

Terug Home