De Poisson-verdeling is een limiet geval van de binomiale verdeling (n groot en np vast). De kans op een bepaalde gebeurtenis bereken je met de volgende formule:
$
\Large P(X = k) = e^{ - \lambda } \cdot \frac{{\lambda ^k }}{{k!}}
$
Deze verdeling wordt alleen bepaald door de verwachtingswaarde $\lambda$. De standaardafwijking is gelijk aan de wortel uit de verwachtingswaarde.
$
\Large \sigma = \sqrt \lambda
$
|
Tabel 1 Aantal dodelijke ongelukken veroorzaakt door een trap van een paard van 10 Pruisische legerkorpsen in een periode van 20 jaar. (1875-1894) (L.v.Bortkiewicz, Das Gesetz der kleinen Zahlen, Leipzig, 1898) |
||
| Aantal jaren met x doden per korps | ||
| x | Gemeten | Berekend |
| 0 | 109 | 109 |
| 1 | 65 | 66 |
| 2 | 22 | 20 |
| 3 | 3 | 4 |
| 4 | 1 | 1 |
| $>$5 | 0 | 0 |
In bovenstaande tabel wordt eerst het totaal aantal ongelukken met dodelijke afloop berekend, dat is 122 (65+2·22+3·3+4·1). Het totaal aantal jaren is 200. Dus de kans op een ongelukje met duidelijke afloop is 0,61. Je kunt dan de kansen berekenen met:
$
\Large P(X = k) = e^{ - 0,61} \cdot \frac{{0,61^k }}{{k!}}
$
| Tabel 2 | |
| k | P(X=k) |
| 0 | 0,543 |
| 1 | 0,331 |
| 2 | 0,101 |
| 3 | 0,021 |
| 4 | 0,003 |
| $>$5 | 0,000 |
Vermenigvuldigen van de rechter kolom in tabel 2 met 200 levert de rechter kolom op in tabel 1.
Met $\lambda$=5 invullen in de formule
$
P(X = k) = e^{ - \lambda } \cdot \frac{{\lambda ^k }}{{k!}}
$
kan je uitrekenen wat de kansen zijn op 0,1,2,3,.. per minuut.
P(X=0)=e-5·50/0!=0,0067
P(X=1)=e-5·51/1!=0,0337
P(X=2)=e-5·52/2!=0,0842
Enzovoort....
P(X>3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)-P(X=3)
(antwoord: 0,735)