7. Negatief exponentiële verdeling
De geometrische verdeling is een discrete verdeling. Er bestaat ook een continue variant: de negatief exponentiële verdeling. De negatief exponentiële verdeling kan je opvatten als: hoe lang duurt het totdat een 'succes' optreedt. Een typisch voorbeeld is de tijd die zal verstrijken tot de eerstvolgende telefoonoproep wanneer er gemiddeld $\lambda$ oproepen per tijdseenheid zijn.
Theorie
Als T een (negatief) exponentiële verdeling heeft, dan is T een continue stochastische variabele met de volgende kansdichtheid:
$
f(t) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}
{\lambda e^{ - \lambda t} \,\,voor\,\,t \ge 0} \\
{0\,\,\,voor\,\,t < 0} \\
\end{array}} \right.
$
...met als verwachtingswaarde en variantie:
$
\eqalign{
& \mu = \frac{1}
{\lambda } \cr
& \sigma ^2 = \frac{1}
{{\lambda ^2 }} \cr}
$
Voorbeeld
Laten we voor $\lambda$=3 de grafiek maar eens tekenen:
Hierboven is net als bij de 'normale verdeling' de oppervlakte onder de grafiek precies 1. Als je kans wilt weten dat je op z'n hoogst 0,4 uur moet wachten dan zou je de oppervlakte onder de grafiek moeten bepalen van 0 tot 0,4:
Dat is natuurlijk niet handig, zodat men voor de oppervlakte onder grafiek (links!) een formule heeft bedacht:
$
F(t) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}
{1 - e^{ - \lambda t} \,\,voor\,\,t \ge 0} \\
{0\,\,\,voor\,\,t < 0} \\
\end{array}} \right.
$
Laten we daar nu ook de grafiek voor $\lambda$=3 eens tekenen:
Hierin kan je bijvoorbeeld aflezen dat de kans dat je hoogstens 0,4 uur moet wachten gelijk is aan 0,7.
Wat is nu de kans dat je langer moet wachten dan 0,4 uur?
Antwoord: P(T$>$0,4)=1-P(T$\leq$0,4)=1-0,7=0,3
Deze kans kan je natuurlijk ook uitrekenen!
Wat is nu de kans dat je langer moet wachten dan 0,4 uur?
Antwoord: P(T$>$0,4)=1-P(T$\leq$0,4)=1-(1-e-3·0,4)=0,301