5. De formule van Cardano
De vergelijking ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 heeft als een oplossing:
\eqalign{ & p = \frac{c} {a} - \frac{{b^2 }} {{3a^2 }} \cr & q = \frac{{2b^3 }} {{27a^3 }} - \frac{{bc}} {{3a^2 }} + \frac{d} {a} \cr & W = \sqrt {q^2 + \frac{4} {{27}}p^3 } \cr & x = \root 3 \of {\frac{{ - q + W}} {2}} + \root 3 \of {\frac{{ - q - W}} {2}} - \frac{b} {{3a}} \cr}
Voorbeeld
Je wilt de vergelijking x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 oplossen. Met de formule van Cardano krijg je:
\eqalign{ & x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 \cr & a = 1 \cr & b = - 6 \cr & c = 11 \cr & d = - 6 \cr & p = \frac{{11}} {1} - \frac{{\left( { - 6} \right)^2 }} {{3 \cdot 1^2 }} = - 1 \cr & q = \frac{{2 \cdot \left( { - 6} \right)^3 }} {{27 \cdot 1^3 }} - \frac{{ - 6 \cdot 11}} {{3 \cdot 1^2 }} + \frac{{ - 6}} {1} = 0 \cr & W = \sqrt {0^2 + \frac{4} {{27}} \cdot \left( { - 1} \right)^3 } = \frac{2} {9}i\sqrt 3 \cr & x = \root 3 \of {\frac{{ - 0 + \frac{2} {9}i\sqrt 3 }} {2}} + \root 3 \of {\frac{{ - 0 - \frac{2} {9}i\sqrt 3 }} {2}} - \frac{{ - 6}} {{3 \cdot 1}} = 3 \cr}
Je hebt dan 1 oplossing te pakken. Met ontbinden kan je dan de (zo mogelijk) andere oplossingen vinden.
Opgelost....
©2004-2025 WisFaq
