4. Ontbinden

Je wil de vergelijking x^3  + 5x^2  - x - 5 = 0 oplossen. Je kunt snel zien dat x=1 een oplossing is door het optellen van de coëfficiënten a t/m d. Als daar nul uitkomt weet je dat x=1 een oplossing is. Je kunt de coëfficiënten ook om en om optellen en aftrekken. Als daar nul uitkomt weet je dat x=-1 een oplossing is.

Voor x^3  + 5x^2  - x - 5 = 0 geldt dat zowel 'optellen' als 'om en om optellen' nul geeft. Kennelijk zijn x=1 en x=-1 oplossingen. In dat geval kan je ontbinden met x^2-1. Dat is wel bijzonder....

Los op:

x^3  + 5x^2  - x - 5 = 0

Uitwerking:

1 + 5 + -1 + -5 = 0\to x=1
1 - 5 + -1  + 5 = 0\to x=-1

(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1

Maak een staartdeling:

\begin{array}{l} x^2 - 1/x^3 + 5x^2 - x - 5\backslash x + 5 \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\underline {x^3 - x} \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,5x^2 - 5 \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\underline {5x^2 - 5} \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \\ \end{array}

Conclusie:

\begin{array}{l} x^3 + 5x^2 - x - 5 = 0 \\ \left( {x^2 - 1} \right)\left( {x + 5} \right) = 0 \\ x^2 - 1 = 0 \vee x + 5 = 0 \\ x = - 1 \vee x = 1 \vee x = - 5 \\ \end{array}

Opgelost...

©2004-2025 WisFaq