De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Rijen en reeksen

Nauwkeurigheid reeks

Hoi
Voor natuurkunde reeks datapunten verzamelt.in excel gekozen voor lineaire lijn. Output correlatiecoeff en vergelijking lijn met RC. Correctief 0,98. Kan ook kiezen voor 2e graad polynoom. Dan is correlatie 0,99. Is polynoom dan beter? Ik heb de rc nodig dus polynoom is geen optie. Maar zou een 2e graad polynoom nauwkeuriger kunnen zijn bij een duidelijk lineair verband?

Geert
2-1-2024

Antwoord

Printen
Dat is eigenlijk geen wiskundige vraag maar eentje over het natuurkundige verschijnsel dat je aan het onderzoeken bent. Bij een lineair verband, zeg $y=ax+b$, zijn de $a$ en de $b$ getallen die iets zeggen over het verschijnsel. Als je een eenparige beweging hebt dan is $a$ de beginpositie en $b$ de snelheid en die bepalen de beweging volledig. Het is dan niet nuttig kwadratisch te gaan werken; je krijgt dan misschien een beter passende kromme maar de $c$ in $y=a+bx+cx^2$ suggereert dan, ten onrechte, dat er versnelling optreedt.

Als je nog niet weet hoeveel getallen belangrijk zijn kun je lineair en kwadratisch met elkaar vergelijken. Als de $c$ veel kleiner is (in absolute waarde) dan de $a$ en $b$ dan is die $c$ waarschijnlijk het resultaat van de meetfouten en niet een belangrijke parameter.

Kortom: niet blindelings de graad ophogen maar telkens kijken of de nieuwe coŽfficiŽnten echt betekenis kunnen hebben. Je hebt het over een duidelijk lineair verband; dan zou ik het ook bij een rechte lijn houden. Kijk naar de $a$'s $b$'s en de $c$; als de $c$ heel klein is meet hij waarschijnlijk alleen ruis.

kphart
2-1-2024


Opsplitsen van een telescopische reeks

Beste

Ik heb de theorie van (telescopische) reeksen gezien en begrijp deze tot op het nodige. Maar bij de opgave die in bijlage staat, vind ik na trial and error nog steeds geen oplossing. Is er misschien een soort "algoritme" die helpt bij het vinden van de opsplitsing? Of is het gewoon inzicht dat je moet verder helpen? Alvast bedankt.

Jacob
4-1-2024

Antwoord

Printen
Wat je meestal doet is de noemer ontbinden (en dat is hier al gedaan) en dan splitsen in de vorm
$$\frac a{2n-1}+\frac b{2n+1}
$$hier levert dat dit op:
$$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac a{2n-1}+\frac b{2n+1}=\frac{2(a+b)n+(a-b)}{(2n-1)(2n+1)}
$$nu zorgen dat $2(a+b)=0$ en $a-b=1$.

Dan kun je gaan telescopen.

kphart
4-1-2024


Som of convergentiewaarde vinden van reeks

Beste

Ik ken de definitie van de som van een reeks en weet wat die moet voorstellen. Maar ik heb nog steeds moeite met het bepalen van deze tot in het mogelijke. Bijvoorbeeld de opgave (8b) in de bijlage. Voor telescopische rijen is hier wel een manier voor, maar dit is niet zo eentje neem ik aan. Weet u hoe ik hiermee op weg moet?
Alvast bedankt.

Jacob
4-1-2024

Antwoord

Printen
Je kunt hem overschatten met twee in elkaar geschoven telescoopreeksen.
Zet de eerste term, $\frac12$, even apart.
Voor $n\ge2$ geldt
$$\frac1{n^2+1} < \frac1{n^2-1}=\frac12\left(\frac1{n-1}-\frac1{n+1}\right)
$$De even termen geven
$$\sum_{n=1}^\infty \frac12\left(\frac1{2n-1}-\frac1{2n+1}\right) = \frac12
$$(een oude bekende). De oneven termen geven
$$\sum_{n=2}^\infty \frac12\left(\frac1{2n-2}-\frac1{2n}\right) = \frac14
$$De gevraagde som is zeker positief, en met onze afschattingen zien we dat hij kleiner is dan $\frac12+\frac12+\frac14$ en dat is weer kleiner dan $\frac\pi2$.

kphart
4-1-2024


Taylor reeksen

Gebruik de middelwaardestelling van Taylor om aan te tonen dat voor alle x in R geldt dat:

ex + e-x$ \ge $ 2+x2

Lou
16-1-2024

Antwoord

Printen
Stap 0: lees de spelregels, in het bijzonder regel 8: je vragen bestaan gewoon uit opgaven en dat is niet de bedoeling, laat zien wat je zelf gedaan hebt.

Stap 1: stel het tweede-orde Taylorpolynoom rond $0$ van $e^x+e^{-x}$ op.

Stap 2: merk op dat dit ook het derde-orde Taylorpolynoom is.

Stap 3: schrijf de restterm op die bij het derde-orde polynoom hoort en kijk daar goed naar, je zult zien dat die niet-negatief is.

Wat je hiervoor nodig hebt staat ongetwijfeld duidelijk in je boek.

kphart
16-1-2024


Taylorreeksen

Klopt deze stelling: Ik heb een functie die minstens 50 keer afleidbaar is, Pn(x) is de 49ste (dus met n= 49) ordebenadering van f rond a.

Stelling:

Pn(a)=f(a) en Pní(a)=fí(a)

Ik dacht dat f(a)= Pn(a)+Rn(a) dus ook met je restterm.

lo
18-1-2024

Antwoord

Printen
Schrijf $P_n(x)$ maar eens op en zie wat je krijgt als je $x=a$ invult.
Bepaal dan $P_n'(x)$ en vul andermaal $x=a$ in.

kphart
18-1-2024


home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3