WisFaq!

Som of convergentiewaarde vinden van reeks

Beste

Ik ken de definitie van de som van een reeks en weet wat die moet voorstellen. Maar ik heb nog steeds moeite met het bepalen van deze tot in het mogelijke. Bijvoorbeeld de opgave (8b) in de bijlage. Voor telescopische rijen is hier wel een manier voor, maar dit is niet zo eentje neem ik aan. Weet u hoe ik hiermee op weg moet?
Alvast bedankt.

Jacob
4-1-2024

Antwoord

Je kunt hem overschatten met twee in elkaar geschoven telescoopreeksen.
Zet de eerste term, $\frac12$, even apart.
Voor $n\ge2$ geldt
$$\frac1{n^2+1} < \frac1{n^2-1}=\frac12\left(\frac1{n-1}-\frac1{n+1}\right)
$$De even termen geven
$$\sum_{n=1}^\infty \frac12\left(\frac1{2n-1}-\frac1{2n+1}\right) = \frac12
$$(een oude bekende). De oneven termen geven
$$\sum_{n=2}^\infty \frac12\left(\frac1{2n-2}-\frac1{2n}\right) = \frac14
$$De gevraagde som is zeker positief, en met onze afschattingen zien we dat hij kleiner is dan $\frac12+\frac12+\frac14$ en dat is weer kleiner dan $\frac\pi2$.

kphart
4-1-2024