De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Kansrekenen

Binomiale verdeling

Beste wiskundige, ik kom niet uit de volgende opgave: De bloedbank is een organisatie waar burgers bloed kunnen laten aftappen. Dit donorbloed kan worden gebruikt bij patienten die dit nodig hebben. In nederland heeft 44 % van de bevolking bloedgroep A. Deze groep is onderverdeeld in 36% met bloedgroep A+ en 8% met bloedgroep A-.

Er komen op een bepaalde dag 30 donoren om bloed te te geven. Hoe groot is de kans dat hiervan precies 8 donoren bloedgroep A hebben? Dat is (0,44)8·(1-0,44)22·(30 boven acht)=0,0237. Deze vraag is goed.

Maar de volgende begrijp ik niet goed: hoe groot is de kans dat !binnen! de groep van 8 mensen met bloedgroep A er twee zijn met bloedgroep A-?.

Ik heb van alles geprobeerd maar ik kom niet uit op het goede antwoord 0,277. Ik heb bayes en de multinomiale verdeling(30!/(22!·6!·2!)·(0.36)6·(0.08)2·(0.56)22)) proberen toe te passen, maar dat mocht helaas niet lukken. De opdrachtgever geeft de nadruk op het woord: binnen, maar ja dat schiet me niets binnen.

Ik heb echt geen flauw idee meer hoe ik dit kan oplossen. Kunt u me helpen?

Gr,
Stijn

Stijn
14-1-2021

Antwoord

Printen
Hallo Stijn,

Kern van de vraag is:

"Hoe groot is de kans dat binnen een (willekeurige!) groep van 8 mensen met bloedgroep A er twee zijn met bloedgroep A-?"
(Zie je in dat de vraag hierop neerkomt?)

Wat je dan nodig hebt, is de kans dat iemand met bloedgroep A de bloedgroep A- heeft. Deze kans is 0,08/0,44 = 2/11 (zie je in waarom?).

Nu is het een doorsnee vraag over de binomiale verdeling met n=8, p=2/11 en k=2. De gevraagde kans is:

P=8!/(2!·6!)*(2/11)2*(9/11)6=0,27767...

Ik zou dit afronden op 0,278.

GHvD
15-1-2021


Kansberekening in de oneindigheid

Ik ben geinteresseerd in de oneindigheid, en ben hier veel mee bezig. Nu vermoed ik dat hier al door veel mensen onderzoek naar is gedaan. Mijn vraag luidt.

Als je oneindig vaak een muntje zou opgooien, is het dan een feit dat deze uiteindelijk een keertje op kop zal vallen? Of is het mogelijk dat hij ook oneindig nooit op kop zal vallen, hoe klein deze kans ook is, omdat er geen grens zit aan oneindigheid zat ik zelf te denken kan iets niet altijd hetzelfde blijven. Dank voor het antwoord alvast, groet paul

Paul s
23-1-2021

Antwoord

Printen
P(minstens een keer kop bij n worpen) = 1 - P(altijd munt bij n worpen) = 1 - 0,5n. Wanneer die n (limiet) naar oneindig gaat gaat die 0,5n naar 0 en komt er dus 1 uit de kans.

Dus ja, als je tot in het oneindige door zou kunnen gaan zal die munt uiteindelijk een keer op kop vallen, zelfs als de kans op kop niet 0,5 maar 0,01 zou zijn.

Met vriendelijke groet
JaDeX

jadex
23-1-2021


Re: Kansberekening in de oneindigheid

Ik ben met een computerprogramma bezig en zit alweer met de volgende vraag. Mijn programma kan niet oneindig een munt opgooien omdat deze gelimiteerd is (voor nu in ieder geval) door een variabele van het type 'long', dit wil zeggen dat mijn programma maximaal 9,223,372,036,854,775,808 keer een muntje kan opgooien.

Nu is mijn volgende vraag:als ik 10 meer kop wil gooien dan munt, wat is dan de kans (1 op hoeveel (afgerond naar hele getallen)) dat dat na het maximaal aantal wat mijn programma kan gooien:niet lukt. Ik ben dus programmeur en weet niet bijzonder veel van wiskunde, graag ontvang ik hier wat hulp bij, en ook uitleg over de berekening alstublieft.

Verder vroeg ik mij af hoe de berekeningen in elkaar zitten om bijvoorbeeld te berekenen hoeveel keer gooien nodig is voor 75% kans op 4 keer meer kop.

Of bijvoorbeeld 60% kans op 7 keer meer kop. Ik snap er net iets te weinig van om dit om te zetten in een formule. Ik heb dit nooit gehad op school (er wordt op mijn hbo-informatica helemaal niets gedaan aan wiskunde), en vraag me ook af of dit soort onderwerpen wel gegeven worden op school of kom je dan echt uit bij een wiskundige opleiding?

Graag ontvang ik antwoord op mijn vragen. Dankuwel alvast, met vriendelijke groet

Paul S
27-1-2021

Antwoord

Printen
Hallo Paul,

Wanneer je een aantal keer een muntje opgooit en je telt het aantal keer dat je kop gooit, dan heb je te maken met een binomiale verdeling.

Stel de kans op kop is pkop, de kans op munt is pmunt. We gooien n keer, we noemen X het aantal keer dat je kop gooit. De kans dat X (dus: het aantal keer kop) gelijk is aan een zekere gekozen waarde k, dan bereken je de kans P(X=k) op deze gebeurtenis met:

q91444img1.gif

Bij een eerlijk muntje geldt pkop = pmunt = 1/2. De formule is dan te vereenvoudigen tot:

q91444img2.gif

Ik geef een eenvoudig voorbeeld:

Stel je gooit 10 keer, dus n=10. De kans op 7 keer kop bereken je met:

q91444img3.gif

Wanneer je n keer gooit, en je wilt 10 keer meer kop dan munt, dan wil je kennelijk n/2+5 keer kop en daarmee n/2-5 keer munt. Netjes invullen van de formule levert je de kans dat dit gebeurt:

q91444img4.gif

Met deze formule kan je onderzoeken hoeveel keer je moet gooien (dus: wat de waarde van n moet zijn) om de kans op 10 keer meer kop dan munt te berekenen, en soortgelijke vragen beantwoorden die je noemt.

Let wel: met deze formule bereken je de kans op precies 10 keer meer kop dan munt. Wellicht wil je de kans weten op minstens 10 keer meer kop dan munt.

Eigenlijk moet je dan de kansen berekenen op precies 10 keer meer, precies 11 keer meer, precies 12 keer meer enz. Met een handige strategie kan je een veelheid van berekeningen wel vermijden: je kunt bijvoorbeeld de kansen berekenen op uitkomsten waarbij het verschil tussen aantal keer kop en aantal keer munt juist kleiner is dan 10. De kans dat dit verschil minstens 10 is, vind je door de berekende kans van 1 af te trekken. De helft hiervan is dan de kans dat het aantal keer kop groter is dan het aantal keer munt. Kortom: definieer je vragen heel zorgvuldig, verzin vervolgens een strategie die precies past op de gestelde vraag.

Je zult wel tegen meer praktische problemen oplopen. Voor grote waarden van n neemt n! snel toe. Wellicht moet je een handige strategie bedenken om de breuk in de formule te berekenen. Een mooie uitdaging voor een programmeur.

GHvD
29-1-2021


Kansrekening

Wat is de kans dat je geen zes gooit met 4 dobbelstenen.

Elh
31-1-2021

Antwoord

Printen
De kans dat je geen 6 gooit met één dobbelsteen is 5/6. Volgens de vermenigvuldigingsregel (productregel) is de kans om met vier dobbelstenen geen zes te gooien (5/6)4, zie Rekenen met kansen.

GHvD
31-1-2021


Re: Re: Kansberekening in de oneindigheid

Ik heb er nog even naar gekeken, en geprobeerd te berekenen wat ik wou berekenen, om te beginnen met de kans op precies 10 keer een bepaalde kant van de munt bij een N aantal worpen, alleen mijn rekenmachine (van windows) gaf een foutmelding dat de invoer ongeldig was. Waarschijnlijk komt dit door de te grote waarde van N.

Hoe dan ook, ik ben nog een beetje bezig met uitpluizen van de formule en het viel me zoiezo op dat bij het voorbeeld van N=10 en K=7 dat er onder de streep 7×3 stond en dat dat dus dezelfde uitkomst is als 3×7, dat zou dus willen zeggen dat de kans van 7 keer kop bij 10 keer gooien even groot moet zijn als 3 keer kop bij 10 keer gooien, wat logisch is want dan heb je 7 keer munt gegooid, en 7 keer munt kans is even groot als 7 keer kop.

Hoe dan ook, dat viel me op. volgens mij is dit ook wel een logische eigenschap van de formule (Ik zie wel wat verbanden). Ik begrijp er nog niet alles van. Als ik er wat meer van weet laat ik nog wel een berichtje achter, dank nogmaals.

Paul S
6-2-2021

Antwoord

Printen
Hallo Paul,

Als je voor n=10 een foutmelding krijgt, dan moet je een invoerfout hebben gemaakt. Voor dit lage aantal moet elke rekenmachine de berekening kunnen uitvoeren.

Verder: je geeft aan dat in de noemer 7·3 staat, maar het gaat om faculteiten, aangegeven met een uitroepteken: er staat 7!·3!. Met 7! wordt bedoeld: 7·6·5·4·3·2·1.

Het klopt dat de kans op 7 keer kop gelijk is aan de kans op 7 keer munt, maar dit geldt alleen bij een eerlijk muntje, dus waarbij pkop=pmunt.

GHvD
7-2-2021


Re: Staatsloterij

Hallo Casper,
Je had over 6 cijfers en 2 letters bij een staatloterij lot. Ik spel online en altijd krijg 2 letters en 5 cijfers lot?. Er is iets mis?

En hoe werkt de hoofdprijs van de staatloterij voor een lot? moet ik alle 5 cijfer en 2 letters goed hebben? als Ja, dan hoe werkt de Jackpot?

Groeten,
Tejman

Tejman
7-2-2021

Antwoord

Printen
Het antwoord waar je op reageert is uit 2003; er kan dus ondertussen iets veranderd zijn. Voor de berekening maakt het alleen maar een factor $10$ uit.

De werkelijke kans lijkt me van trekking tot trekking te veranderen omdat het alleen om de verkochte loten gaat, toch?

Wat de Jackpot betreft: die kans is, als ik de uitleg hier goed begrijp, nogal variabel. Hij wordt uit de verkochte loten getrokken, als hij getrokken wordt, dat hangt weer van een getrokken bal af. Daar is geen panklare formule voor te maken.

kphart
8-2-2021


Dobbelstenen

Geachte,

Ik heb graag een vraagje waar ik wel een antwoord gevonden heb, maar ben niet zeker of het antwoord juist of fout is.

De vraag is als volgt:

"We gooien met 10 gelijke dobbelstenen, waarbij we kijken naar het aantal gegooide enen, tweeën, et cetera. Een mogelijke uitkomst is bijvoorbeeld: ¨3 enen, 1 twee, 0 drieën, 2 vieren, 3 vijven en 1 zes. Hoeveel uitkomsten zijn er in totaal mogelijk?"

Mijn antwoord is als volgt:

De volgorde is niet van belang en herhaling is toegestaan. Het aantal 10-herhalingscombinaties uit zes elementen is gelijk aan 15! : (10! * 5!) = 3003

Is mijn antwoord goed? graag uw hulp daarvan.

Met vriendelijk groet,

Mi
16-2-2021

Antwoord

Printen
Volgens mij klopt dit helemaal.

GHvD
16-2-2021


Spaar ze allemaal

Er zijn 25 unieke knikkers. Stel dat ik 200x een knikker pak, hoe groot is de kans dat ik ze allemaal minimaal 1x heb gepakt

Gijs
18-2-2021

Antwoord

Printen
Hallo Gijs,

Als je 200 keer kiest uit een verzameling van 25, waarbij herhaling is toegestaan en waarbij niet wordt gelet op de volgorde, dan heb je te maken met herhalingscombinaties. Zie vooral ook Waar komt die formule vandaan?

Met een beetje creatief puzzelen met de 'puntjes en paaltjes' in deze uitleg valt vast wel het aantal mogelijkheden te bepalen waarop je de knikkers kunt pakken, en het aantal mogelijkheden waarbij elke knikker minstens één keer wordt gepakt.

GHvD
18-2-2021


Kansrekening dobbelsteen

hoi, ik zit vast bij het oplossen van een oefening:

q91664img1.gif

Ik heb een probleem met het vinden van vraag e waar ze zeggen wat de kans is om exact na 2 ronden te verliezen. dit zou 11,57% moeten zijn maar ik kom maar niet aan die cijfer.

Kan iemand mij uitleggen hoe dit moet? Blijkbaar is de complementregel gebruikt. ik stuur ook mijn berekeningen van de vorige vragen door voor het gemak.

chelse
4-3-2021

Antwoord

Printen
Hallo Chelsey,

Om na exact twee ronden te verliezen, moet het spel na de eerste ronde niet afgelopen zijn, en in de tweede ronde moet de speler 7 ogen gooien.

Na de eerste ronde gaat het spel door wanneer de speler één van onderstaande aantallen ogen gooit:
  • 4 ogen: kans is 3/36
  • 5 ogen: kans is 4/36
  • 6 ogen: kans is 5/36
  • 8 ogen: kans is 5/36
  • 9 ogen: kans is 4/36
  • 10 ogen: kans is 3/36
  • 12 ogen: kans is 1/36
De kans dat het spel na de eerste ronde doorgaat, is de som van deze kansen: 25/36.

De kans dat de speler in de tweede ronde 7 ogen gooit, is 6/36.

De kans dat het spel na de tweede ronde eindigt, komt hiermee op:

25/36·6/36 = 150/1296 $\approx$ 0,1157, dus ongeveer 11,57%.

PS:
Voor de eerste worp kan je ook berekenen wat de kans is dat het spel stopt. Hiervoor moet je 2, 3, 7 of 11 ogen gooien. De kans hierop is 1/36 + 2/36 + 6/36 + 2/36 = 11/36. De kans dat het spel na de eerste ronde doorgaat, is dan 1-11/36 = 25/36

GHvD
4-3-2021


Kansrekening bloed

"Mensen met een bloedgroep O-negatief zijn universele donoren. slechts 7% van de Amerikaanse bevolking heeft O-negatief bloed. Als 10 willekeurige Amerikanen bloed geven, wat is dan de kans dat minstens één van hun een universele donor is? "
ik zou een uitkomst moeten hebben van 0,5160 maar hoe kom ik hieraan? En hoe kan ik de gebeurtenis definiëren?

Chelse
8-3-2021

Antwoord

Printen
Hallo Chelsey,

Wat dacht je van dit stappenplan:
  • De kans dat één willekeurige persoon niet bloedgroep O-negatief heeft, is 0,93 (weet je waarom?).
  • Hoe groot is dan de kans dat 10 willekeurige personen allemaal niet bloedgroep O-negatief hebben?
  • De kans dat minstens één van die 10 personen bloedgroep O-negatief heeft, vind je dan door bovengenoemde kans van 1 af te trekken.

GHvD
8-3-2021


Kans om een eend

Een doorsnee eendenjager heeft een kans van 30% om een eend te schieten bij één schot. 4 doorsnee eendenjagers wachten hun kans af rond een eendenpoel.

Er duikt slechts één eend op binnen schootsafstand. Bereken de kans dat de jagers 's avonds eend eten, indien elke jager één keer schiet.

Ik zou een 0,7599 moeten uitkomen, maar ik snap niet hoe je hieraan komt. Ik dacht eraan om 30/100 + 30/100 + 30/100 + 30/100 te doen ...

Chelse
8-3-2021

Antwoord

Printen
Hallo Chelsey,

Zie het antwoord op jouw vorige vraag Kansrekening bloed:
  • De kans dat een jager mist, is 0,7 (weet je waarom?)
  • Hoe groot is dan de kans dat 4 jagers allemaal missen?
  • De kans dat minstens één jager raak schiet, vind je door bovengenoemde kans van 1 af te trekken.
Zie je de overeenkomst tussen deze twee vragen?

GHvD
8-3-2021



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3