WisFaq!

Loading jsMath...

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

\require{AMSmath}

Analytische meetkunde

Re: Re: Kegelsneden en krommen: ellips

Waarom moet de det gelijk zijn aan 0?

PVN
7-1-2025

Antwoord

Het snijpunt (x,y) moet op alledrie lijnen liggen, dat betekent dat het alledrie vergelijkingen kloppend maakt. Als je de matrix in drie kolommen verdeelt, K_1, K_2, en K_3 dan betekent dit dat x\cdot K_1+y\cdot K_2+K_3 de nulvector moet zijn. En dat betekent weer dat de kolommen lineair afhankelijk zijn, en dat is weer equivalent aan het gelijk aan 0 zijn van de determinant.
kphart
7-1-2025

Re: Re: Re: Kegelsneden en krommen: ellips

Waarom de nulvector?
PVN
7-1-2025

Antwoord

In het oorspronkelijke antwoord zijn de vergelijkingen van de drie lijnen gegeven:
de raaklijn: b^2x_1\cdot x +a^2y_1\cdot y -a^2b^2=0
de loodlijn daarop uit F: a^2y_1\cdot x -b^2x_1\cdot y -a^2y_1c=0
en de lijn door O evenwijdig aan F'D: y_1\cdot x-(x+1+c)x=0
In het antwoord staan ze in de matrix in een andere volgorde weergegeven:
\begin{cases} a^2y_1\cdot x -b^2x_1\cdot y -a^2y_1c=0\\ y_1\cdot x-(x_1+c)x +0 = 0\\ b^2x_1\cdot x +a^2y_1\cdot y -a^2b^2=0 \end{cases}
Zet alles met een x in een vector, alles met een y, en alles zonder x of y ook (daarom staat er een extra 0 in de tweede vergelijking). Dan kun je de drie vergelijkingen als één vergelijking zien:
x\begin{pmatrix}a^2y_1\\y_1\\b^2x_1\end{pmatrix} + y\begin{pmatrix}-b^2x_1\\-(x_1+c)\\a^2y_1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-a^2y_1c\\0\\-a^2b^2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}
En daar staat wat in het vorige antwoord staat: x\cdot K_1+y\cdot K_2+K_3=\mathbf{0}.

kphart
8-1-2025

Construeren hoek 30°

Geachte, hoe kan je een hoek van 30° construeren met passer en wat is hiervoor de verklaring. 60° kan ik al met passer, maar zijn er nog zo hoeken die je met een passer kan tekenen?
Dank bij voorbaat, Seppe
Seppe
16-2-2025

Antwoord

Kijk maar eens op https://www.davdata.nl/passer_liniaal.html#hoeken
Lukt het daar mee?
WvR
16-2-2025

Re: Re: Re: Kegelsneden en krommen: ellips

Zijn ze lineair afhankelijk omdat x en y niet 0 zijn en 1 ook niet 0 is?
Stef
12-3-2025

Antwoord

Vooral omdat 1 niet gelijk is aan 0.
kphart
12-3-2025

Veeltermen

Goedendag

Zij f een veeltermfunctie met
f (x) = x⁴ + ax³ + bx² + cx + d.
Als f (3) = 20, f (6) = 40 en f (9) = 60, waaraan is f (0) + f (12) dan gelijk?'

ik heb al verschillende dingen geprobeerd maar ik kwam nooit een antwoord uit want ik had te veel onbekenden, hoe moet je hieraan beginnen?

Dank, Arne
Arne
16-3-2025

Antwoord

Als je 3, 6, 9, en 12 invult lijkt het of je grote getallen krijgt
waar weinig mee te doen is, maar als je 3=1\cdot3, 6=2\cdot3, 9=3\cdot3,
en 12=4\cdot3 schrijft krijg je vier dingen die erg op elkaar lijken:
f(i\cdot3)=i^4\cdot3^4+i^3\cdot a3^3+i^2\cdot b3^2+i\cdot c3+ d

Merk ook nog op dat f(0)=d.
Schrijf nu even z_1=3^4, z_2=a3^3, z_3=b3^2, z_4=c3, en z_5=d.
Je krijgt nu vier vergelijkingen:
\begin{cases} z_1+z_2+z_3+z_4+z_5&=20 \\ 16z_1+8z_2+4z_3+2z_4+z_5&=40 \\ 81z_1+27z_2+9z_3+3z_4+z_5&=60\\ 256z_1+64z_2+16z_3+4z_4+2z_5d&=q \end{cases}

De laatste vergelijking is f(12)+f(0)=q, waarbij q het getal is dat
we zoeken.
Als je nu netjes van achter naar voren z_5, z_4, en z_3 elimineert zul
je zien dat z_2 ook uit de laatste vergelijking wegvalt en de laatste
vergelijking uiteindelijk verandert in 24z_1=q-80; vul nu z_1=3^4 in en
klaar ben je.

Je kunt het elimineren ook in deze aangevulde matrix doen:
\begin{pmatrix} 1&1&1&1&1&|&20\\ 16&8&4&2&1&|&40 \\ 81&27&9&3&1&|&60 \\ 256&64&16&4&2&|&q \end{pmatrix}

kphart
16-3-2025

Formule loodrechte lijn opstellen normaalvector

De vraag:
Stel een vergelijking op van de lijn p door het punt D(-4, 7) die loodrecht staat op de lijn q door de punten O en E(-1, 4).
Ik had dit als antwoord ((getal getal) zonder komma is een vector):
rq = (1 -4) - (0 0) = (1 -4)
p loodrecht op q dus rp = (4 1)
dan p: 4x + y = c = 4(-4) + 7 = -9
dus p: 4x + y = -9

In de uitwerkingen wordt simpelweg dit gezegd:
rq = (1 -4)
p loodrecht op q dus nq = rp = (1 -4) en dan rekenen ze daarmee verder, maar omdat het loodrecht is moet je toch de normaalvector van q pakken en dat is dan toch gewoon de richtingsvector naar links of rechts draaien? De normaalvector kan toch niet hetzelfde zijn als de richtingsvector?

Klopt de uitwerking gewoon niet of doe ik wat fout?
Sem
18-3-2025

Antwoord

Zowel de gegeven uitwerking als de jouwe zijn niet foutloos.

In de gegeven uitwerking zijn bij het opschrijven letters verwisseld denk ik.
Dat \vec r_p=\vec n_q klopt maar dan lijkt het of p en q omgewisseld zijn. Er moet staan \vec n_p=\vec r_q=\binom{1}{-4}.
De laatste drie regels van die uitwerking geven nu juist een vergelijking voor p.

In jouw uitwerking gaat er ook iets mis: je hebt gelijk dat \vec r_p=\binom{4}{1}, maar, zoals je zelf zegt \vec r_p is niet een normaalvector voor p, daar moet je nu juist \binom{1}{-4} voor hebben en dan krijg je de vergelijking als in de gedrukte uitwerking.

kphart
18-3-2025