WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Analytische meetkunde

Booglengte en booghoogte gekende koorde of straal?

Wanneer je in een cirkelsegment middenhoek of straal kent kan je eenvoudig de booglengte berekenen. Wanneer je echter enkel de booglengte kent en de booghoogte (sagitta) geraak ik er niet uit. Dan zou ik eerst de koorde moeten kunnen berekenen.

Aangezien de sagitta (s) deel uitmaakt van de straal (r): r = s + (r-s) en de middenhoek niet berekend kan worden zit ik vast.

Finaal is mijn doel: wanneer ik de booglengte verkort van een bestaande rigide boog maar verder niets wijzig: wat is dan de vermindering van de sagitta?
Jean-M
17-1-2024

Antwoord

Je kunt het volgende stelsel opstellen:

$
\eqalign{
& \cos \alpha = \frac{{r - y}}
{r} \cr
& \alpha \cdot r = \frac{1}
{2}L \cr}
$

Bij gegeven waarden, bijvoorbeeld $y=2$ en $L=8\pi$ geeft dat:

$
\eqalign{
& \cos \alpha = \frac{{r - 2}}
{r} \cr
& \alpha \cdot r = 4\pi \cr}
$

Dat is een stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden. Maar dit stelsel lijkt me alleen op te lossen met een numerieke methode. Mijn Derive geeft:

$
r \approx {\rm{2}}{\rm{,549}}
$

Maar of dat nu het juiste antwoord is? Kun je er verder mee?
WvR
17-1-2024

Re: Booglengte en booghoogte gekende koorde of straal?

Beste,
Ben een 50'er min 1. Even oude wiskundecursus opgerakeld.
Stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden, dus op te lossen via substitutiemethode? Of gebruik jij iets anders? Alvast bedankt.
Jean-M
18-1-2024

Antwoord

Bij gegeven waarden, bijvoorbeeld $y=2$ en $L=8\pi$ geeft dat:

$
\eqalign{
& \cos \alpha = \frac{{r - 2}}
{r} \cr
& \alpha \cdot r = 4\pi \cr}
$

Je kunt substitueren:

$
\eqalign{
& \alpha \cdot r = 4\pi \Rightarrow \alpha = \frac{{4\pi }}
{r} \cr
& \downarrow \cr
& \cos \left( {\frac{{4\pi }}
{r}} \right) = \frac{{r - 2}}
{r} \cr
& r \cdot \cos \left( {\frac{{4\pi }}
{r}} \right) = r - 2 \cr
& r \cdot \cos \left( {\frac{{4\pi }}
{r}} \right) - r + 2 = 0 \cr}
$

Maar dat levert uiteindelijk een vergelijking op die niet algebraisch is op te lossen. Ik geef toe dat zoiets wel jammer is, maar 't komt vaker voor...
Een vergelijking algebraïsch oplossen
Naschrift
Het alternatief, $\eqalign{r=\frac{4\pi}\alpha}$, leidt tot een `eenvoudigere' vergelijking voor $\alpha$:

$\eqalign{\cos\alpha=1-\frac{\alpha}{2\pi}}$

en algemeen:

$
\eqalign{\cos\alpha=1-\frac{2y\alpha}L}
$
WvR
18-1-2024

Re: Re: Booglengte en booghoogte gekende koorde of straal?

Het interesseert me wel om te weten hoe dergelijke numerieke benadering dan gebeurt. Bijvoorbeeld in uw Derive. Ik zou dat dan in een Excel gieten.

Helaas op internet al heel wat gevonden maar dan voor eenvoudige functies genre 2x + y = 8 en 3x - 2y = 5, niet voor functies met fractie (r in één van de functies in teller en in noemer) en ook goniometrische bewerking (cos alfa).

Of is mijn vraag te ver gegrepen ?
Jean-M
19-1-2024

Antwoord

Oplossingen benaderen kunnen we tegenwoordig ook doen met de grafische rekenmachine. Met de TI-84 Plus CE-T krijg je dan bijvoorbeeld:

Dat is een mooi resultaat, maar er zitten nog wel wat haken en ogen aan...

Met Excel kan je zoiets doen met doelzoeken. Dat was altijd zoiets als:

=D4*COS(4*PI()/D4)-D4+2

Waarbij je dan D4 wijzigt zodat er 0 uitkomt. Je kunt het doelzoeken vinden bij Gegevens en dan Wat-als-analyse en Doelzoeken. Je krijgt dan zoiets als:

Met als resultaat:

Maar dat lijkt dan niet te kloppen. Bij de rekemachine kan je een linker- en rechtergrens opgeven. Dat heb ik hier niet kunnen vinden. Dat zou wel handig zijn.

Met programma's als Maple kan je ook vergelijkingen numeriek oplossen. Met mijn oude Derive gaat dat zo:

Je kunt in het programma eventueel ook de linker- en rechtergrens opgeven.

Ik heb met Desmo ook nog even de grafieken getekend van:

$
\eqalign{
& f(r) = \cos \left( {\frac{{4\pi }}
{r}} \right) \cr
& g(r) = \frac{{r - 2}}
{r} \cr}
$

Voor $f(r) = g(r)$ zijn dan 3 mogelijke kandidaten:

grafiek bekijken in Desmos
De vraag is dan of dit wel een oplossing geeft van je oorspronkelijke probleem.

Naschrift
Ergens gaat er van alles mis. Maar we kunnen misschien beter kijken naar:

$
\eqalign{
& f(x) = \cos (x) \cr
& g(x) = 1 - \frac{x}
{{2\pi }} \cr}
$

$
f(x) = g(x)
$ geeft dat 4 oplossingen:

De meest linkse oplossing lijkt dan het meest aannemelijk. Dit geeft dan:

$
\eqalign{
& L = 8\pi \cr
& y = 2 \cr
& \alpha \approx 0,321\,\,\,\left( { \pm 18^\circ } \right) \cr
& r \approx 39 \cr}
$

...en dat zou het dan moeten zijn.
Oplossingen benaderen met de TI-84

WvR
19-1-2024

Re: Re: Re: Booglengte en booghoogte gekende koorde of straal?

Het is echt een moeilijke. Ik vraag me op de duur af of de formules gerelateerd aan booglengte mogen gebruikt worden.

Als de sagitta (booghoogte) naar 0 nadert wordt de booglengte evenwijdig met de koorde, straal wordt oneindig en kan je geen cirkel meer construeren en ook geen straal bepalen. Bijgevolg ook geen straal afleiden. Zal er tijdje mijn hoofd op breken.

Daarnaast booglengte bv. 1000 mm, sagitta 2 mm wanneer je de sagitta sterk laat toenemen dan komen de uiteinden van de boog naar elkaar toe. Er is dus één situatie waarbij je een cirkel kan construeren met bepaalde straal die de gegeven booglengte volgt.

In mijn geval zou ik bv. willen weten als je een boog van 1000 mm lengte met sagitta 2 mm hebt en je verkort de booglengte tot 800 mm , hoeveel zal de sagitta dan bedragen.
Jean-M
22-1-2024

Antwoord

Als je een cirkel met omtrek $1000\,\mathrm{mm}$ hebt is de diameter gelijk aan $\frac{1000}{\pi}\,\mathrm{mm}$, en dat is dan gelijk de sagitta.

Als terugkijkt naar dit antwoord zie je twee betrekkingen:
$$\cos\alpha=\frac{r-s}r=1-\frac sr \text{ en }L=2r\alpha
$$de tweede geeft $\alpha=\frac{L}{2r}$ en als je dat in de eerste invult krijg je deze betrekking voor $\alpha$:
$$\cos\alpha=1-\frac{2s}L\alpha
$$Je kunt dan weer $s$ vrijmaken:
$$s=\frac{L}{2\alpha}(1-\cos\alpha)
$$en dat vertelt ons dat $s$ van $L$ èn $\alpha$ afhangt.

Dus $L$ inkorten van $1000\,\mathrm{mm}$ tot $800\,\mathrm{mm}$ legt niet vast hoe $s$ verandert.
Als je wilt dat $\alpha$ gelijk blijft wordt $s$ evenredig met $L$ kleiner (dus $1{,}6\,\mathrm{mm}$), maar als $\alpha$ mag variëren kan $s$ groter en kleiner worden.
kphart
22-1-2024

Cosinus

We hebben een formule omgerekend en kwamen uit op het volgende:

3p² $\div $ 4 = cos a

We moeten de hoek a uitdrukken in p
Kan iemand ons hierbij helpen? Is het überhaupt mogelijk?
Alvast bedankt!
Elien
13-2-2024

Antwoord

Hallo Elien,

Wanneer geldt:

Dan is:

Zie ook Wikipedia: Arccosinus.
GHvD
13-2-2024

Analyse limiet bewijzen

Ik begrijp uit de volgende voorbeeld de inclusies niet, hoe weten we dat D1(t) een subset van S(t) een subset van D2(t) is? en ik begrijp de formule in 1.19 niet, waar komt die sin en tan vandaan?

Alvast bedankt
Lana
14-2-2024

Antwoord

Kijk goed naar het plaatje en teken de driehoek $D_1(t)$ er nog even in.
Dan zie je dat $D_1(t)$ binnen de cirkelsector $S(t)$ ligt; en dat $S(t)$ binnen $D_2(t)$ ligt heeft verder geen hulplijnen nodig.
Je kunt het plaatje ook drie keer kopiëren en dan de drie gebieden apart inkleuren.

Uit de inclusies volgt
$$\operatorname{Opp} D_1(t) < \operatorname{Opp} S(t) < \operatorname{Opp} D_2(t)
$$en die oppervlakten zijn net uitgerekent: $\frac12\sin t$, $\frac12t$, en $\frac12\tan t$.

kphart
14-2-2024

Wat zijn de formules van de cirkels in de engel?

Je ziet hier een engel in een vierkant die 2x2 is, en de vraag was wat zijn de functies van de cirkels in de engelen. Dit was een vraag tijdens kerst van onze wiskundeleraar toen we hier een hoofdstuk van hadden, maar ik ben er nog steeds niet uit hoe je op het antwoord kan komen.
Alvast bedankt voor het helpen.
Gerrit
13-3-2024

Antwoord

Ik weet niet precies waar je de oorsprong van het assenstelsel wilt hebben, maar waarschijnlijk is het ook wel voldoende om de straal te bepalen van de cirkels.

Neem aan dat het vierkant een lengte heeft van $2$.
Teken de lijn p.
Noem het middelpunt van de kleine cirkel $M$.
De lijn $BM$ gaat precies door het raakpunt van de kleine cirkel en grote kwartcirkel.
Er geldt nu volgens de stelling van Pythagoras:

$
\left( {2 - r} \right)^2 + 1^2 = \left( {2 + r} \right)^2
$

Je kunt nu $r$ uitrekenen. Je weet dan de straal van de kleine cirkel. Bij een gegeven plaats van de oorsprong kan je met de straal en het middelpunt de vergelijking van de kleine cirkel opstellen.

De berekening voor de cirkel in het midden kan je dan zelf 's proberen. Dat gaat in principe op dezelfde manier. Zou dat lukken? Zo niet, dan moet je je maar weer melden...
WvR
13-3-2024

Analyse bewijzen

Ik kom niet uit deze vraag, ik blijf de definitie van continuïteit uitschrijven maar kom vanaf daar nergens..
Lana
1-4-2024

Antwoord

Die definitie heeft "voor elke $\varepsilon $>$ 0$" in zich.

Dat betekent dat het in het bijzonder geldt voor het positieve getal $\varepsilon=f(c)-m$. Een $\delta$ die bij die $\varepsilon$ past doet wat nodig is.
kphart
1-4-2024

Analyse bewijzen

Ik loop elke keer vast bij deze vragen, ik begrijp bijvoorbeeld de definitie van continuïteit maar het gebruiken vindt ik best ingewikkeld, want hoe pak ik zo'n vraag aan?
Lana
1-4-2024

Antwoord

Pas het antwoord op je vorige vraag toe: de functie $x\mapsto|f(x)|$ is continu, en $|f(c)| $>$ 0$; nu nog een geschikte $m$ maken, bijvoorbeeld $m=\frac12|f(c)|$.
kphart
1-4-2024

Analyse bewijzen

Ik kom niet uit de volgende vraag, als ik ze herleid kom ik op |a-x|/|ax|. Maar vanaf daar heb ik geen idee hoe ik verder moet?
Lana
1-4-2024

Antwoord

Je hebt dus $|ax|^{-1}|a-x|$.
Gebruik nu dat $|x-a|\le\frac12|a|$, daaruit volgt namelijk dat $|x|\ge\frac12|a|$. En dat geeft weer
$$
\frac1{|x|}\le\frac2{|a|}
$$
ofwel $|x|^{-1}\le2|a|^{-1}$.
kphart
1-4-2024

Analyse bewijzen

Toon met behulp van de definitie van limiet aan dat lim x $\to $ a f(x)=f(a).
Ik kom hier niet echt ver, ik blijf de definite van beide opschrijven maar weet niet hoe ik verder moet...
Lana
1-4-2024

Antwoord

Ik ook niet want het argument zal van de gegeven functie afhangen. Er is in dit geval geen panacee; iedere functie vraagt meestal een eigen aanpak.
kphart
1-4-2024