WisFaq!

Veeltermen

Goedendag

Zij f een veeltermfunctie met
f (x) = x⁴ + ax³ + bx² + cx + d.
Als f (3) = 20, f (6) = 40 en f (9) = 60, waaraan is f (0) + f (12) dan gelijk?'

ik heb al verschillende dingen geprobeerd maar ik kwam nooit een antwoord uit want ik had te veel onbekenden, hoe moet je hieraan beginnen?

Dank, Arne

Arne
16-3-2025

Antwoord

Als je 3, 6, 9, en 12 invult lijkt het of je grote getallen krijgt
waar weinig mee te doen is, maar als je 3=1\cdot3, 6=2\cdot3, 9=3\cdot3,
en 12=4\cdot3 schrijft krijg je vier dingen die erg op elkaar lijken:

f(i\cdot3)=i^4\cdot3^4+i^3\cdot a3^3+i^2\cdot b3^2+i\cdot c3+ d

Merk ook nog op dat f(0)=d.
Schrijf nu even z_1=3^4, z_2=a3^3, z_3=b3^2, z_4=c3, en z_5=d.
Je krijgt nu vier vergelijkingen:

\begin{cases} z_1+z_2+z_3+z_4+z_5&=20 \\ 16z_1+8z_2+4z_3+2z_4+z_5&=40 \\ 81z_1+27z_2+9z_3+3z_4+z_5&=60\\ 256z_1+64z_2+16z_3+4z_4+2z_5d&=q \end{cases}

De laatste vergelijking is f(12)+f(0)=q, waarbij q het getal is dat
we zoeken.
Als je nu netjes van achter naar voren z_5, z_4, en z_3 elimineert zul
je zien dat z_2 ook uit de laatste vergelijking wegvalt en de laatste
vergelijking uiteindelijk verandert in 24z_1=q-80; vul nu z_1=3^4 in en
klaar ben je.

Je kunt het elimineren ook in deze aangevulde matrix doen:

\begin{pmatrix} 1&1&1&1&1&|&20\\ 16&8&4&2&1&|&40 \\ 81&27&9&3&1&|&60 \\ 256&64&16&4&2&|&q \end{pmatrix}

kphart
16-3-2025